Frequentemente uma curva plana é dada em coordenadas polares: \rho=\rho(\theta), a \leq \theta \leq b.
(a) Mostre que o comprimento de arco é
\int_{a}^{b} \sqrt{\rho^{2}+\left(\rho^{\prime}\right)^{2}} d \theta
onde o símbolo ’ denota derivação em relação a \theta.
(b) Mostre que a curvatura é
k(\theta)=\frac{2\left(\rho^{\prime}\right)^{2}-\rho \rho^{\prime \prime}+\rho^{2}}{\left(\rho^{2}+\left(\rho^{\prime}\right)^{2}\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado dá uma curva plana em coordenadas polares através da função \rho=\rho(\theta) no intervalo [a,b]. As perguntas são duas:
  • (a) Mostrar que o comprimento de arco é
\int_{a}^{b} \sqrt{\rho^{2}+\left(\rho^{\prime}\right)^{2}}\, d\theta.
  • (b) Mostrar que a curvatura é
k(\theta)=\frac{2\left(\rho^{\prime}\right)^{2}-\rho \rho^{\prime \prime}+\rho^{2}}{\left(\rho^{2}+\left(\rho^{\prime}\right)^{2}\right)^{3 / 2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função \rho(\theta) é dada e diferenciável o suficiente em [a,b].
  • O apóstrofo denota derivada em relação a \theta: \rho'(\theta)=\dfrac{d\rho}{d\theta}, \rho''(\theta)=\dfrac{d^{2}\rho}{d\theta^{2}}.
  • É necessário usar a relação entre coordenadas polares e cartesianas e fórmulas de comprimento de arco e curvatura para curvas paramétricas.

Passo 2

Transformar a curva polar para coordenadas cartesianas e lembrar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.
Explicação didática rápida:
  • Uma curva dada em polares \rho=\rho(\theta) pode ser vista como uma curva parametrizada por \theta em coordenadas cartesianas usando
x(\theta)=\rho(\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=\rho(\theta)\sin\theta.
Aqui x(\theta) e y(\theta) são funções de \theta. Isso vem da definição das coordenadas polares: x=\rho\cos\theta e y=\rho\sin\theta.
  • Para uma curva parametrizada por um parâmetro t (aqui t=\theta), o comprimento de arco entre t=a e t=b é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\,dt.
Isto é a fórmula padrão: integrando a velocidade \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2} ao longo do parâmetro dá o comprimento da curva.

Passo 3

Calcular x'(\theta) e y'(\theta); usar a regra do produto e a regra da cadeia passo a passo.
Temos x(\theta)=\rho(\theta)\cos\theta. Aplicando derivada:
x'(\theta)=\rho'(\theta)\cos\theta-\rho(\theta)\sin\theta.
Justificativa: derivada de \rho(\theta)\cos\theta é \rho'(\theta)\cos\theta+\rho(\theta)\cdot(-\sin\theta).
De forma análoga, para y(\theta)=\rho(\theta)\sin\theta,
y'(\theta)=\rho'(\theta)\sin\theta+\rho(\theta)\cos\theta.
Essas fórmulas seguem diretamente de derivar produtos de funções de \theta.

Passo 4

Calcular \bigl(x'(\theta)\bigr)^{2}+\bigl(y'(\theta)\bigr)^{2} e simplificar para obter a integranda do comprimento.
Substituindo as expressões obtidas:
\begin{aligned} \bigl(x'(\theta)\bigr)^{2} &= \bigl(\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta\bigr)^{2} = (\rho')^{2}\cos^{2}\theta -2\rho\rho'\cos\theta\sin\theta +\rho^{2}\sin^{2}\theta,\\[4pt] \bigl(y'(\theta)\bigr)^{2} &= \bigl(\rho'\sin\theta+\rho\cos\theta\bigr)^{2} = (\rho')^{2}\sin^{2}\theta +2\rho\rho'\sin\theta\cos\theta +\rho^{2}\cos^{2}\theta. \end{aligned}
Somando as duas expressões, os termos cruzados se cancelam:
\begin{aligned} \bigl(x'(\theta)\bigr)^{2}+\bigl(y'(\theta)\bigr)^{2} &= (\rho')^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta) + \rho^{2}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\\\ &= (\rho')^{2} + \rho^{2}. \end{aligned}
Aqui foi usada a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.
Portanto a velocidade é \sqrt{(\rho')^{2}+\rho^{2}} e, aplicando a fórmula do comprimento de arco,
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\rho^{2}+\left(\rho'\right)^{2}}\, d\theta.
Isso resolve a parte (a).]

Passo 5

Preparar a fórmula de curvatura para uma curva paramétrica e explicá-la de maneira clara.
Didaticamente:
  • A curvatura mede o quão “curva” é a trajetória em cada ponto; para uma curva parametrizada por t por r(t)=(x(t),y(t)), uma fórmula conveniente é
k(t)=\frac{\bigl|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\bigr|}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Explicação curta: o numerador x'y''-y'x'' é proporcional à componente normal da segunda derivada (é a determinante que mede a taxa de variação do vetor tangente), e o denominador normaliza pela velocidade ao fator 3/2 para obter a derivada do versor tangente em relação ao comprimento de arco. Não é preciso provar a fórmula aqui, mas é importante entender que ela vem de k=|\dfrac{dT}{ds}| com T tangente unitário e s comprimento de arco, usando regra da cadeia.
Vamos aplicar essa fórmula com o parâmetro t=\theta.

Passo 6

Calcular as segundas derivadas x''(\theta) e y''(\theta) passo a passo.
Recordando x'=\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta, derivamos de novo:
\begin{aligned} x''(\theta) &= \frac{d}{d\theta}\bigl(\rho'(\theta)\cos\theta\bigr) - \frac{d}{d\theta}\bigl(\rho(\theta)\sin\theta\bigr)\\[4pt] &= \rho''(\theta)\cos\theta - \rho'(\theta)\sin\theta - \bigl(\rho'(\theta)\sin\theta + \rho(\theta)\cos\theta\bigr)\\[4pt] &= \rho''(\theta)\cos\theta -2\rho'(\theta)\sin\theta - \rho(\theta)\cos\theta. \end{aligned}
Para y''(\theta), a derivada de y'=\rho'\sin\theta+\rho\cos\theta é
\begin{aligned} y''(\theta) &= \rho''(\theta)\sin\theta + \rho'(\theta)\cos\theta + \rho'(\theta)\cos\theta - \rho(\theta)\sin\theta\\[4pt] &= \rho''(\theta)\sin\theta +2\rho'(\theta)\cos\theta - \rho(\theta)\sin\theta. \end{aligned}]

Passo 7

Calcular o numerador N(\theta)=x'(\theta)y''(\theta)-y'(\theta)x''(\theta) de forma organizada e mostrar as cancelamentos.
Vamos usar abreviações temporárias para clareza: \rho=\rho(\theta), \rho'=\rho'(\theta), \rho''=\rho''(\theta). Substituindo as quatro expressões:
\begin{aligned} x' y'' &= \bigl(\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta\bigr)\bigl(\rho''\sin\theta+2\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta\bigr),\\[4pt] y' x'' &= \bigl(\rho'\sin\theta+\rho\cos\theta\bigr)\bigl(\rho''\cos\theta-2\rho'\sin\theta-\rho\cos\theta\bigr). \end{aligned}
Agora expandir cuidadosamente cada produto (mostrando os termos importantes e depois somando):
Expansão de x'y'':
\begin{aligned} x'y'' &= \rho'\rho''\cos\theta\sin\theta + 2(\rho')^{2}\cos^{2}\theta - \rho\rho'\cos\theta\sin\theta \\\ &\quad - \rho\rho''\sin^{2}\theta -2\rho\rho'\sin\theta\cos\theta + \rho^{2}\sin^{2}\theta. \end{aligned}
Expansão de y'x'':
\begin{aligned} y'x'' &= \rho'\rho''\sin\theta\cos\theta -2(\rho')^{2}\sin^{2}\theta - \rho\rho'\sin\theta\cos\theta \\\ &\quad + \rho\rho''\cos^{2}\theta -2\rho\rho'\cos\theta\sin\theta - \rho^{2}\cos^{2}\theta. \end{aligned}
Agora computar N=x'y''-y'x''. Observe que muitos termos idênticos aparecem com sinais que levam a cancelamentos. Agrupando os termos restantes por tipos ( (\rho')^{2}, \rho\rho'', \rho^{2}) e usando \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1, obtemos:
  • Termos em (\rho')^{2}: 2(\rho')^{2}\cos^{2}\theta - \bigl(-2(\rho')^{2}\sin^{2}\theta\bigr) = 2(\rho')^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=2(\rho')^{2}.
  • Termos em \rho\rho'': -\rho\rho''\sin^{2}\theta - \rho\rho''\cos^{2}\theta = -\rho\rho''(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)= -\rho\rho''.
  • Termos em \rho^{2}: \rho^{2}\sin^{2}\theta - \bigl(-\rho^{2}\cos^{2}\theta\bigr)=\rho^{2}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)=\rho^{2}.
  • Os termos mistos \rho\rho'\cos\theta\sin\theta e \rho'\rho''\cos\theta\sin\theta aparecem com sinais que se cancelam entre x'y'' e y'x''.
Somando os resultados acima:
N(\theta)=x'y''-y'x''=2(\rho')^{2}-\rho\rho''+\rho^{2}.]

Passo 8

Substituir o numerador e o denominador na fórmula de curvatura e concluir a parte (b).
Lembrando que x'^{2}+y'^{2}=\rho^{2}+(\rho')^{2} (do Passo 4), a fórmula da curvatura dá
k(\theta)=\frac{\bigl|x'y''-y'x''\bigr|}{\bigl(x'^{2}+y'^{2}\bigr)^{3/2}} = \frac{\bigl|\,2(\rho')^{2}-\rho\rho''+\rho^{2}\,\bigr|}{\bigl(\rho^{2}+(\rho')^{2}\bigr)^{3/2}}.
Se quisermos a curvatura algébrica com sinal conforme a orientação, pode-se omitir o valor absoluto; o enunciado pediu a expressão positiva padrão, assim obtemos
k(\theta)=\frac{2\left(\rho'\right)^{2}-\rho\rho''+\rho^{2}}{\left(\rho^{2}+\left(\rho'\right)^{2}\right)^{3/2}}.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{a}^{b} \sqrt{\rho^{2}+\left(\rho'\right)^{2}}\, d\theta.
(b) \displaystyle k(\theta)=\frac{2\left(\rho'\right)^{2}-\rho\rho''+\rho^{2}}{\left(\rho^{2}+\left(\rho'\right)^{2}\right)^{3/2}}.

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