Justificativa: derivada de \rho(\theta)\cos\theta é \rho'(\theta)\cos\theta+\rho(\theta)\cdot(-\sin\theta).
De forma análoga, para y(\theta)=\rho(\theta)\sin\theta,
Explicação curta: o numerador x'y''-y'x'' é proporcional à componente normal da segunda derivada (é a determinante que mede a taxa de variação do vetor tangente), e o denominador normaliza pela velocidade ao fator 3/2 para obter a derivada do versor tangente em relação ao comprimento de arco. Não é preciso provar a fórmula aqui, mas é importante entender que ela vem de k=|\dfrac{dT}{ds}| com T tangente unitário e s comprimento de arco, usando regra da cadeia.
Vamos aplicar essa fórmula com o parâmetro t=\theta.
Passo 6
Calcular as segundas derivadas x''(\theta) e y''(\theta) passo a passo.
Recordando x'=\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta, derivamos de novo:
Agora computar N=x'y''-y'x''. Observe que muitos termos idênticos aparecem com sinais que levam a cancelamentos. Agrupando os termos restantes por tipos ((\rho')^{2}, \rho\rho'', \rho^{2}) e usando \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1, obtemos:
Termos em (\rho')^{2}: 2(\rho')^{2}\cos^{2}\theta - \bigl(-2(\rho')^{2}\sin^{2}\theta\bigr) = 2(\rho')^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=2(\rho')^{2}.
Termos em \rho\rho'': -\rho\rho''\sin^{2}\theta - \rho\rho''\cos^{2}\theta = -\rho\rho''(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)= -\rho\rho''.
Termos em \rho^{2}: \rho^{2}\sin^{2}\theta - \bigl(-\rho^{2}\cos^{2}\theta\bigr)=\rho^{2}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)=\rho^{2}.
Os termos mistos \rho\rho'\cos\theta\sin\theta e \rho'\rho''\cos\theta\sin\theta aparecem com sinais que se cancelam entre x'y'' e y'x''.
Se quisermos a curvatura algébrica com sinal conforme a orientação, pode-se omitir o valor absoluto; o enunciado pediu a expressão positiva padrão, assim obtemos