Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva parametrizada regular (não necessariamente pelo comprimento de arco) e seja \beta: J \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma reparametrização de \alpha(I) pelo comprimento de arco s=s(t), medido a partir de t_{0} \in I. Seja t=t(s) a função inversa de s e faça d \alpha / d t=\alpha^{\prime}, d^{2} \alpha / d t^{2}=\alpha^{\prime \prime}, etc. Prove que:
A curvatura de \alpha em t \in I é
Lembrando a definição de curvatura em parâmetro de comprimento de arco: se uma curva está parametrizada por comprimento de arco por \beta(s) (ou seja |\beta'(s)|=1), então vetor tangente unitário é
T(s)=\beta'(s),
e a curvatura \kappa(s) é a norma da derivada do tangente em relação ao comprimento de arco:
Agora calcule v'(t)=\dfrac{d}{dt}|\alpha'(t)|. Como v=|\alpha'|=\sqrt{\alpha'\cdot\alpha'}, usando derivada da raiz/quadrado e a linearidade do produto escalar,