Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva parametrizada regular (não necessariamente pelo comprimento de arco) e seja \beta: J \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma reparametrização de \alpha(I) pelo comprimento de arco s=s(t), medido a partir de t_{0} \in I. Seja t=t(s) a função inversa de s e faça d \alpha / d t=\alpha^{\prime}, d^{2} \alpha / d t^{2}=\alpha^{\prime \prime}, etc. Prove que:
A curvatura de \alpha em t \in I é
k(t)=\frac{\left|\alpha^{\prime} \wedge \alpha^{\prime \prime}\right|}{\left|\alpha^{\prime}\right|^{3}}

Passo 1

O enunciado dá:
  • \alpha: I \to \mathbb{R}^3 é uma curva regular, isto é \alpha'(t)\neq 0 para todo t\in I.
  • \beta: J\to\mathbb{R}^3 é a reparametrização de \alpha pelo comprimento de arco s, medido a partir de t_0\in I. Temos s=s(t) e a inversa t=t(s).
  • Notação: d\alpha/dt=\alpha', d^2\alpha/dt^2=\alpha'', etc.
O que o problema pede:
  • Provar que a curvatura de \alpha em t é
k(t)=\frac{\left|\alpha^{\prime}(t)\wedge \alpha^{\prime\prime}(t)\right|}{\left|\alpha^{\prime}(t)\right|^{3}}.

Passo 2

Lembrando a definição de curvatura em parâmetro de comprimento de arco: se uma curva está parametrizada por comprimento de arco por \beta(s) (ou seja |\beta'(s)|=1), então vetor tangente unitário é
T(s)=\beta'(s),
e a curvatura \kappa(s) é a norma da derivada do tangente em relação ao comprimento de arco:
\kappa(s)=\left| \frac{dT}{ds}(s)\right|=\left|\beta''(s)\right|.
Essa definição é a que vamos usar, porque \beta é precisamente a reparametrização de \alpha por comprimento de arco.

Passo 3

Relacionando \beta(s) e \alpha(t): por composição \beta(s)=\alpha(t(s)). Aplicando a regra da cadeia,
\beta'(s)=\frac{d\alpha}{dt}\bigg|_{t=t(s)}\cdot\frac{dt}{ds}=\alpha'(t)\frac{dt}{ds}.
Mas ds/dt=|\alpha'(t)| (definição de comprimento de arco), logo dt/ds=1/|\alpha'(t)|. Definindo v(t):=|\alpha'(t)|, obtemos
T(s)=\beta'(s)=\frac{\alpha'(t)}{v(t)}.
Note que T tem norma unitária: \big|\alpha'/v\big|=1.

Passo 4

Queremos \kappa=\big|dT/ds\big|. Usamos a regra da cadeia novamente:
\frac{dT}{ds}=\frac{dT}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\frac{T'(t)}{v(t)},
portanto
\kappa(t)=\left|\frac{dT}{ds}\right|=\frac{|T'(t)|}{v(t)}.
Logo precisamos calcular T'(t)=\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\alpha'(t)}{v(t)}\right). Aplicando a regra do quociente (ou produto com v^{-1}):
T'(t)=\frac{\alpha''(t)\,v(t)-\alpha'(t)\,v'(t)}{v(t)^2}.
Agora calcule v'(t)=\dfrac{d}{dt}|\alpha'(t)|. Como v=|\alpha'|=\sqrt{\alpha'\cdot\alpha'}, usando derivada da raiz/quadrado e a linearidade do produto escalar,
v'(t)=\frac{\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)}{v(t)}.
Substituindo em T'(t):
T'(t)=\frac{v\,\alpha''-(\alpha'\cdot\alpha'')\frac{\alpha'}{v}}{v^2} =\frac{v^2\alpha''-(\alpha'\cdot\alpha'')\alpha'}{v^3}.
Como v^2=\alpha'\cdot\alpha', podemos escrever
T'(t)=\frac{(\alpha'\cdot\alpha')\alpha''-(\alpha'\cdot\alpha'')\alpha'}{v^3}.

Passo 5

Precisamos da norma de T'(t). Introduzimos uma identidade vetorial útil: para vetores a,b\in\mathbb{R}^3 considere
c=(a\cdot a)\,b-(a\cdot b)\,a.
Calculemos |c|^2. Expandindo,
\begin{aligned} c\cdot c &= (a\cdot a)^2(b\cdot b) -2(a\cdot a)(a\cdot b)(a\cdot b) + (a\cdot b)^2(a\cdot a)\\\ &=(a\cdot a)\big((a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^2\big). \end{aligned}
Mas a identidade clássica do produto vetorial dá
|a\wedge b|^2=(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^2.
Substituindo, obtemos
c\cdot c=(a\cdot a)\,|a\wedge b|^2,
ou seja
|c|=|a|\,|a\wedge b|.
Agora aplique essa identidade com a=\alpha'(t) e b=\alpha''(t). Então o numerador em T'(t),
(\alpha'\cdot\alpha')\alpha''-(\alpha'\cdot\alpha'')\alpha',
tem norma igual a |\alpha'|\,|\alpha'\wedge\alpha''|=v\,|\alpha'\wedge\alpha''|. Assim
|T'(t)|=\frac{v\,|\alpha'(t)\wedge\alpha''(t)|}{v^3}=\frac{|\alpha'(t)\wedge\alpha''(t)|}{v^2}.

Passo 6

Voltando à expressão da curvatura,
\kappa(t)=\frac{|T'(t)|}{v(t)}=\frac{1}{v}\cdot\frac{|\alpha'\wedge\alpha''|}{v^2}=\frac{|\alpha'\wedge\alpha''|}{v^3}.
Lembrando v(t)=|\alpha'(t)|, concluímos
\kappa(t)=\frac{\left|\alpha^{\prime}(t)\wedge \alpha^{\prime\prime}(t)\right|}{\left|\alpha^{\prime}(t)\right|^{3}},
o que era para ser provado.

Resposta

k(t)=\frac{\left|\alpha^{\prime}(t)\wedge \alpha^{\prime\prime}(t)\right|}{\left|\alpha^{\prime}(t)\right|^{3}}

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