Uma translação por um vetor v em \mathbb{R}^{3} é uma aplicação A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por A(p)=p+v, p \in \mathbb{R}^{3}. Uma aplicação linear \rho: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é uma transformação ortogonal quando \rho u \cdot \rho v=u \cdot v para vetores quaisquer u, v \in \mathbb{R}^{3}. Um movimento rígido em \mathbb{R}^{3} é o resultado da composição de uma translação com uma transformação ortogonal com determinante positivo (incluímos esta última condição pois espera-se que movimentos rígidos preservem orientações).
(a) Demonstre que o módulo de um vetor e o ângulo \theta entre dois vetores, 0 \leq \theta \leq \pi, são invariantes por transformações ortogonais com determinante positivo.
(b) Mostre que o produto vetorial de dois vetores é invariante por transformações ortogonais com determinante positivo. A afirmação continua verdadeira caso não seja levada em conta a condição sobre o determinante?
(c) Mostre que o comprimento de arco, a curvatura e a torção de uma curva parametrizada são (nos pontos onde estão definidas) invariantes por movimentos rígidos.

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder depois.
  • Informação 1: Uma translação por v\in\mathbb{R}^3 é A(p)=p+v.
  • Informação 2: Uma aplicação linear \rho:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é ortogonal se
\forall u,v\in\mathbb{R}^3:\qquad \rho u\cdot\rho v = u\cdot v.
  • Informação 3: Um movimento rígido é a composição de uma translação com uma transformação ortogonal com \det(\rho)>0. Ou seja, um movimento rígido tem a forma p\mapsto \rho(p)+v com \rho ortogonal e \det\rho=1 (ou, mais geralmente, \det\rho>0, mas em \mathbb{R}^3 ortogonal implica \det\rho=\pm1).
O enunciado pede três coisas:
(a) Mostrar que o módulo de um vetor e o ângulo \theta entre dois vetores são invariantes por transformações ortogonais com determinante positivo.
(b) Mostrar que o produto vetorial é invariante por transformações ortogonais com determinante positivo; e responder se isso continua válido se não exigirmos a condição sobre o determinante.
(c) Mostrar que, para uma curva parametrizada, o comprimento de arco, a curvatura e a torção (nos pontos onde estão definidas) são invariantes por movimentos rígidos.
Agora começa a parte de provar e explicar passo a passo, sem pular etapas.

Passo 2

Prova da invariância do módulo por transformações ortogonais ( \rho ortogonal).
Lembrete/definição útil:
\text{o módulo (norma) de }u\text{ é }\|u\|=\sqrt{u\cdot u}.óé
Como \rho é ortogonal, vale para todo u que
\rho u\cdot\rho u = u\cdot u.
Tomando raiz quadrada positiva em ambos os lados (norma é não-negativa), obtemos
\|\rho u\| = \|u\|.
Portanto o módulo (comprimento) de qualquer vetor é preservado por \rho.
Explicando de forma bem prática: ortogonalidade significa que produtos escalares não mudam; o comprimento é raiz do produto escalar consigo mesmo, logo também não muda.

Passo 3

Prova da invariância do ângulo entre dois vetores por transformações ortogonais ( \rho ortogonal).
Lembrete/definição útil:
para vetores u e v (não nulos), o cosseno do ângulo \theta entre eles é
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}, \qquad 0\le\theta\le\pi.
Como \rho preserva produto escalar e normas, temos
\cos\tilde\theta = \frac{\rho u\cdot\rho v}{\|\rho u\|\,\|\rho v\|} = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|} = \cos\theta.
Se \cos\tilde\theta=\cos\theta e ambos ângulos pertencem a [0,\pi], então \tilde\theta=\theta. Logo o ângulo é preservado.
Comentário didático: mantém o sinal do coseno e não há ambiguidade pois trabalhamos com o intervalo [0,\pi].

Passo 4

Introdução da identidade do produto vetorial e do produto misto (triple scalar product) que vamos usar em (b) e (c).
Fatos úteis e fórmulas básicas:
  • Produto misto: para a,b,c\in\mathbb{R}^3,
a\cdot(b\times c) = \det[a,b,c],
onde \det[a,b,c] é o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas de a,b,c.
  • Propriedade de determinante: para uma aplicação linear \rho representada por matriz R,
\det[\rho a,\rho b,\rho c] = \det(R)\,\det[a,b,c].
Vamos usar essas identidades para comparar \rho(u\times v) e \rho u\times \rho v.

Passo 5

Prova da relação entre \rho(u\times v) e \rho u\times \rho v e conclusão de (b).
Para vetores arbitrários u,v,w\in\mathbb{R}^3 calcule o produto escalar com \rho w:
(\rho u\times \rho v)\cdot \rho w = \det[\rho u,\rho v,\rho w].
Pelo fato do determinante:
\det[\rho u,\rho v,\rho w] = \det(\rho)\,\det[u,v,w] = \det(\rho)\,(u\times v)\cdot w.
Por outro lado, usando que \rho é ortogonal (preserva produto escalar),
(\rho(u\times v))\cdot \rho w = (u\times v)\cdot w.
Comparando as duas expressões e lembrando que a igualdade vale para todo w, obtemos
(\rho u\times \rho v)\cdot \rho w = \det(\rho)\,(\rho(u\times v))\cdot \rho w\qquad\forall w.
Variando w, os vetores \rho w percorrem todo \mathbb{R}^3, logo as duas grandezas vetoriais que dão esses mesmos produtos escalares com qualquer vetor devem ser iguais. Assim
\rho u\times \rho v = \det(\rho)\,\rho(u\times v).
Multiplicando por \det(\rho) (lembrando que \det(\rho)=\pm1, então \det(\rho)^{-1}=\det(\rho)), obtemos também a forma equivalente
\rho(u\times v) = \det(\rho)\,(\rho u\times \rho v).
Agora a conclusão:
  • Se \det(\rho)=1 (transf. ortogonal própria, rotações), a relação fica
\rho(u\times v)=\rho u\times \rho v,
ou seja, o produto vetorial é exatamente preservado — invariância total.
  • Se \det(\rho)=-1 (reflexão combinada com rotação, ortogonal imprópria), então
\rho(u\times v)=-\,(\rho u\times \rho v),
ou seja, o produto vetorial sofre mudança de sinal: não é invariância pontual; o vetor muda de direção (o módulo permanece, pois norma é preservada, mas o sentido é invertido).
Portanto a afirmação em (b) é verdadeira quando se exige \det(\rho)>0 e falha (muda de sinal) se não se impõe essa condição.
Comentário intuitivo: reflexões invertem a orientação do espaço; o produto vetorial está ligado à orientação (direção dada pela regra da mão direita), por isso sofre sinal quando a orientação é invertida.

Passo 6

Preparação para (c): fórmulas e o que é preciso mostrar.
Queremos mostrar que comprimento de arco, curvatura e torção de uma curva parametrizada são invariantes por movimentos rígidos p\mapsto \rho(p)+v com \rho ortogonal e \det\rho>0.
Fórmulas que vamos usar (válidas para uma curva suave \alpha(t), onde as derivadas necessárias existem e são adequadas):
  • Comprimento de arco entre t=a e t=b:
L=\int_a^b \|\alpha'(t)\|\,dt.
  • Curvatura para parametrização qualquer:
\kappa(t) = \frac{\|\alpha'(t)\times \alpha''(t)\|}{\|\alpha'(t)\|^3}.
(Se \alpha for parametrizada por comprimento de arco s (isto é \|\alpha'(s)\|=1), então \kappa(s)=\|\alpha''(s)\|.)
  • Torção (fórmula usual em parametrização arbitrária):
\tau(t) = \frac{(\alpha'(t)\times \alpha''(t))\cdot \alpha'''(t)}{\|\alpha'(t)\times \alpha''(t)\|^2},
quando o denominador é não nulo.
Vamos mostrar que cada uma dessas quantidades é preservada por \beta(t)=\rho(\alpha(t))+v.

Passo 7

Invariância do comprimento de arco por movimento rígido.
Se \beta(t)=\rho(\alpha(t))+v, então derivando:
\beta'(t)=\rho(\alpha'(t)),
pois a translação por v some ao derivar. Então, usando que \rho preserva normas,
\|\beta'(t)\| = \|\rho(\alpha'(t))\| = \|\alpha'(t)\|.
Logo o integrando do comprimento é o mesmo e, para quaisquer a<b,
\int_a^b \|\beta'(t)\|\,dt = \int_a^b \|\alpha'(t)\|\,dt.
Portanto o comprimento de arco é preservado por qualquer movimento rígido (tradução + rotação propriamente dita).
Observação motivadora: tradução não altera derivadas; rotação preserva normas.

Passo 8

Invariância da curvatura por movimento rígido.
Usamos a fórmula
\kappa = \frac{\|\alpha'\times\alpha''\|}{\|\alpha'\|^3}.
Para \beta temos \beta'=\rho(\alpha') e \beta''=\rho(\alpha''). Aplicando a identidade do produto vetorial provada no Passo 5 com \det(\rho)=1 (movimento rígido pede det positivo), obtemos
\beta'\times\beta'' = \rho(\alpha')\times\rho(\alpha'') = \rho(\alpha'\times\alpha''),
pois \det(\rho)=1. Tomando normas e usando que \rho preserva normas,
\|\beta'\times\beta''\| = \|\rho(\alpha'\times\alpha'')\| = \|\alpha'\times\alpha''\|.
Também \|\beta'\|=\|\alpha'\|. Assim
\kappa_\beta(t) = \frac{\|\beta'\times\beta''\|}{\|\beta'\|^3} = \frac{\|\alpha'\times\alpha''\|}{\|\alpha'\|^3} = \kappa_\alpha(t).
Logo a curvatura é preservada ponto a ponto por movimentos rígidos.
Observação pedagógica: se tivéssemos \det(\rho)=-1, o produto vetorial mudaria de sinal, mas a norma do produto vetorial não muda; portanto a curvatura (que usa a norma) continua preservada mesmo no caso de reflexões.

Passo 9

Invariância da torção por movimento rígido.
Usamos a fórmula
\tau = \frac{(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha'''}{\|\alpha'\times\alpha''\|^2}.
Para \beta temos \beta^{(k)}=\rho(\alpha^{(k)}) para k=1,2,3. Compute o numerador:
(\beta'\times\beta'')\cdot\beta''' = (\rho(\alpha')\times\rho(\alpha''))\cdot\rho(\alpha''').
Usando a identidade do Passo 5 com \det(\rho)=1 e a propriedade de preservação do produto escalar, temos
(\rho(\alpha')\times\rho(\alpha''))\cdot\rho(\alpha''') = \rho(\alpha'\times\alpha'')\cdot\rho(\alpha''') = (\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha'''.
No denominador, usando invariância do produto vetorial e da norma:
\|\beta'\times\beta''\|^2 = \|\alpha'\times\alpha''\|^2.
Portanto
\tau_\beta(t) = \frac{(\beta'\times\beta'')\cdot\beta'''}{\|\beta'\times\beta''\|^2} = \frac{(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha'''}{\|\alpha'\times\alpha''\|^2} = \tau_\alpha(t).
Concluímos que a torção é preservada ponto a ponto por movimentos rígidos (a condição \det(\rho)=1 garante que o produto misto não muda de sinal).
Observação adicional: se \det(\rho)=-1, então pelo Passo 5 teremos uma mudança de sinal no numerador (produto misto) enquanto o denominador (norma ao quadrado) permanece igual; assim a torção muda de sinal sob transformações ortogonais impróprias. Ou seja, reflexão inverte o sinal da torção.

Passo 10

Conclusões finais e interpretação intuitiva.
  • Comprimento de arco: preservado por qualquer movimento rígido porque derivadas sofrem apenas rotação/tradução e normas são preservadas.
  • Curvatura: preservada porque envolve apenas normas de combinações (produto vetorial e normas) que são preservadas por rotações; mesmo reflexões preservam a curvatura (norma do produto vetorial).
  • Torção: preservada por movimentos rígidos propriamente ditos ( \det\rho=1); se \det\rho=-1 a torção troca de sinal.
Pronto — mostramos ponto a ponto as invariâncias pedidas, sempre explicando o porquê das fórmulas usadas.

Resposta

(a) O módulo de um vetor e o ângulo entre dois vetores são preservados por transformações ortogonais com \det(\rho)>0.
(b) Para \det(\rho)>0 vale \rho(u\times v)=\rho u\times\rho v, logo o produto vetorial é preservado; se não impuser \det(\rho)>0 (ou seja, se \det(\rho)=-1) então \rho(u\times v)=-\,(\rho u\times\rho v) e a igualdade deixa de valer (há inversão de sinal).
(c) Comprimento de arco, curvatura e torção de uma curva parametrizada são invariantes por movimentos rígidos p\mapsto \rho(p)+v com \rho ortogonal e \det(\rho)>0.

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