Uma translação por um vetor
em
é uma aplicação
dada por
. Uma aplicação linear
é uma transformação ortogonal quando
para vetores quaisquer
. Um movimento rígido em
é o resultado da composição de uma translação com uma transformação ortogonal com determinante positivo (incluímos esta última condição pois espera-se que movimentos rígidos preservem orientações).
(a) Demonstre que o módulo de um vetor e o ângulo
entre dois vetores,
, são invariantes por transformações ortogonais com determinante positivo.
(b) Mostre que o produto vetorial de dois vetores é invariante por transformações ortogonais com determinante positivo. A afirmação continua verdadeira caso não seja levada em conta a condição sobre o determinante?
(c) Mostre que o comprimento de arco, a curvatura e a torção de uma curva parametrizada são (nos pontos onde estão definidas) invariantes por movimentos rígidos.
(a) Demonstre que o módulo de um vetor e o ângulo
(b) Mostre que o produto vetorial de dois vetores é invariante por transformações ortogonais com determinante positivo. A afirmação continua verdadeira caso não seja levada em conta a condição sobre o determinante?
(c) Mostre que o comprimento de arco, a curvatura e a torção de uma curva parametrizada são (nos pontos onde estão definidas) invariantes por movimentos rígidos.
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder depois.
- Informação 1: Uma translação por
é . - Informação 2: Uma aplicação linear
é ortogonal se
- Informação 3: Um movimento rígido é a composição de uma translação com uma transformação ortogonal com
. Ou seja, um movimento rígido tem a forma com ortogonal e (ou, mais geralmente, , mas em ortogonal implica ).
O enunciado pede três coisas:
(a) Mostrar que o módulo de um vetor e o ângulo entre dois vetores são invariantes por transformações ortogonais com determinante positivo.
(b) Mostrar que o produto vetorial é invariante por transformações ortogonais com determinante positivo; e responder se isso continua válido se não exigirmos a condição sobre o determinante.
(c) Mostrar que, para uma curva parametrizada, o comprimento de arco, a curvatura e a torção (nos pontos onde estão definidas) são invariantes por movimentos rígidos.
(a) Mostrar que o módulo de um vetor e o ângulo
(b) Mostrar que o produto vetorial é invariante por transformações ortogonais com determinante positivo; e responder se isso continua válido se não exigirmos a condição sobre o determinante.
(c) Mostrar que, para uma curva parametrizada, o comprimento de arco, a curvatura e a torção (nos pontos onde estão definidas) são invariantes por movimentos rígidos.
Agora começa a parte de provar e explicar passo a passo, sem pular etapas.
Passo 2
Prova da invariância do módulo por transformações ortogonais (
ortogonal).
Lembrete/definição útil:
Como
é ortogonal, vale para todo
que
Tomando raiz quadrada positiva em ambos os lados (norma é não-negativa), obtemos
Portanto o módulo (comprimento) de qualquer vetor é preservado por
.
Explicando de forma bem prática: ortogonalidade significa que produtos escalares não mudam; o comprimento é raiz do produto escalar consigo mesmo, logo também não muda.
Passo 3
Prova da invariância do ângulo entre dois vetores por transformações ortogonais (
ortogonal).
Lembrete/definição útil:
para vetores e
(não nulos), o cosseno do ângulo
entre eles é
para vetores
Como
preserva produto escalar e normas, temos
Se
e ambos ângulos pertencem a
, então
. Logo o ângulo é preservado.
Comentário didático: mantém o sinal do coseno e não há ambiguidade pois trabalhamos com o intervalo
.
Passo 4
Introdução da identidade do produto vetorial e do produto misto (triple scalar product) que vamos usar em (b) e (c).
Fatos úteis e fórmulas básicas:
- Produto misto: para
,
onde
é o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas de
.
- Propriedade de determinante: para uma aplicação linear
representada por matriz ,
Vamos usar essas identidades para comparar
e
.
Passo 5
Prova da relação entre
e
e conclusão de (b).
Para vetores arbitrários
calcule o produto escalar com
:
Pelo fato do determinante:
Por outro lado, usando que
é ortogonal (preserva produto escalar),
Comparando as duas expressões e lembrando que a igualdade vale para todo
, obtemos
Variando
, os vetores
percorrem todo
, logo as duas grandezas vetoriais que dão esses mesmos produtos escalares com qualquer vetor devem ser iguais. Assim
Multiplicando por
(lembrando que
, então
), obtemos também a forma equivalente
Agora a conclusão:
- Se
(transf. ortogonal própria, rotações), a relação fica
ou seja, o produto vetorial é exatamente preservado — invariância total.
- Se
(reflexão combinada com rotação, ortogonal imprópria), então
ou seja, o produto vetorial sofre mudança de sinal: não é invariância pontual; o vetor muda de direção (o módulo permanece, pois norma é preservada, mas o sentido é invertido).
Portanto a afirmação em (b) é verdadeira quando se exige
e falha (muda de sinal) se não se impõe essa condição.
Comentário intuitivo: reflexões invertem a orientação do espaço; o produto vetorial está ligado à orientação (direção dada pela regra da mão direita), por isso sofre sinal quando a orientação é invertida.
Passo 6
Preparação para (c): fórmulas e o que é preciso mostrar.
Queremos mostrar que comprimento de arco, curvatura e torção de uma curva parametrizada são invariantes por movimentos rígidos
com
ortogonal e
.
Fórmulas que vamos usar (válidas para uma curva suave
, onde as derivadas necessárias existem e são adequadas):
- Comprimento de arco entre
e :
- Curvatura para parametrização qualquer:
(Se
for parametrizada por comprimento de arco
(isto é
), então
.)
- Torção (fórmula usual em parametrização arbitrária):
quando o denominador é não nulo.
Vamos mostrar que cada uma dessas quantidades é preservada por
.
Passo 7
Invariância do comprimento de arco por movimento rígido.
Se
, então derivando:
pois a translação por
some ao derivar. Então, usando que
preserva normas,
Logo o integrando do comprimento é o mesmo e, para quaisquer
,
Portanto o comprimento de arco é preservado por qualquer movimento rígido (tradução + rotação propriamente dita).
Observação motivadora: tradução não altera derivadas; rotação preserva normas.
Passo 8
Invariância da curvatura por movimento rígido.
Usamos a fórmula
Para
temos
e
. Aplicando a identidade do produto vetorial provada no Passo 5 com
(movimento rígido pede det positivo), obtemos
pois
. Tomando normas e usando que
preserva normas,
Também
. Assim
Logo a curvatura é preservada ponto a ponto por movimentos rígidos.
Observação pedagógica: se tivéssemos
, o produto vetorial mudaria de sinal, mas a norma do produto vetorial não muda; portanto a curvatura (que usa a norma) continua preservada mesmo no caso de reflexões.
Passo 9
Invariância da torção por movimento rígido.
Usamos a fórmula
Para
temos
para
. Compute o numerador:
Usando a identidade do Passo 5 com
e a propriedade de preservação do produto escalar, temos
No denominador, usando invariância do produto vetorial e da norma:
Portanto
Concluímos que a torção é preservada ponto a ponto por movimentos rígidos (a condição
garante que o produto misto não muda de sinal).
Observação adicional: se
, então pelo Passo 5 teremos uma mudança de sinal no numerador (produto misto) enquanto o denominador (norma ao quadrado) permanece igual; assim a torção muda de sinal sob transformações ortogonais impróprias. Ou seja, reflexão inverte o sinal da torção.
Passo 10
Conclusões finais e interpretação intuitiva.
- Comprimento de arco: preservado por qualquer movimento rígido porque derivadas sofrem apenas rotação/tradução e normas são preservadas.
- Curvatura: preservada porque envolve apenas normas de combinações (produto vetorial e normas) que são preservadas por rotações; mesmo reflexões preservam a curvatura (norma do produto vetorial).
- Torção: preservada por movimentos rígidos propriamente ditos (
); se a torção troca de sinal.
Pronto — mostramos ponto a ponto as invariâncias pedidas, sempre explicando o porquê das fórmulas usadas.
Resposta
(a) O módulo de um vetor e o ângulo entre dois vetores são preservados por transformações ortogonais com
.
(b) Para vale
, logo o produto vetorial é preservado; se não impuser
(ou seja, se
) então
e a igualdade deixa de valer (há inversão de sinal).
(c) Comprimento de arco, curvatura e torção de uma curva parametrizada são invariantes por movimentos rígidos com
ortogonal e
.
(b) Para
(c) Comprimento de arco, curvatura e torção de uma curva parametrizada são invariantes por movimentos rígidos