Frutas recém-colhidas, medindo 2 cm de diâmetro, são resfriadas de 18 a 7 div em resfriador a -2 div C, com um coeficiente de transferência de calor superficial de 16 W / m^2 K. Calcule o tempo necessário para resfriar as frutas no resfriador.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos frutas recém-colhidas com um diâmetro de 2 cm que precisam ser resfriadas de 18°C para 7°C em um resfriador cuja temperatura é de -2°C. O coeficiente de transferência de calor superficial é de 16 W/m²K. Nosso objetivo é calcular o tempo necessário para esse resfriamento.
Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de Transferência de Calor, especificamente a Lei do Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda com o tempo quando está em contato com um fluido a uma temperatura diferente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei do Resfriamento de Newton, que é dada por:
dTdt = -h Am cp (T - Tamb)
Onde:
  • $ T $ é a temperatura da fruta no tempo $ t $
  • $ T_{amb} $ é a temperatura ambiente (-2°C)
  • $ h $ é o coeficiente de transferência de calor (16 W/m²K)
  • $ A $ é a área superficial da fruta
  • $ m $ é a massa da fruta
  • $ c_p $ é a capacidade térmica específica da fruta
Para facilitar, podemos reorganizar a equação e integrar para encontrar o tempo necessário para a fruta atingir a temperatura desejada.

Passo 3

Como não temos a massa $ m $ nem a capacidade térmica específica $ c_p $ da fruta, vamos assumir que a fruta é esférica para calcular a área superficial $ A $ e o volume $ V $.
Primeiro, convertemos o diâmetro para raio:
m
Agora, calculamos a área superficial $ A $ de uma esfera:
cp ²
E o volume $ V $:
A ³

Passo 4

Agora, reescreveremos a Lei do Resfriamento de Newton para encontrar o tempo $ t $:
t
Mas como não temos $ m $ e $ c_p $, vamos expressar $ m $ em termos de densidade $ \rho $ e volume $ V $:
t = m cph A ln(Tinicial - TambTfinal - Tamb)
Substituindo na equação do tempo:
m
Calculando o logaritmo:
cp
Portanto, a expressão para o tempo $ t $ fica:
m

Resposta

O tempo necessário para resfriar as frutas no resfriador é dado por:
t = rho V cp16 times 4 pi (0,01)^2 times 0,7885
Substituindo os valores conhecidos:
t = rho times 43 pi (0,01)^3 times cp16 times 4 pi times 10^-4 times 0,7885
Simplificando:
t = rho times 43 pi times 10^-6 times cp16 times 4 pi times 10^-4 times 0,7885
t = rho cp times 43 times 10^-616 times 4 times 10^-4 times 0,7885
t = rho cp times 43 times 10^-664 times 10^-4 times 0,7885
t = rho cp times 148 times 10^-2 times 0,7885
t = rho cp times 10^-248 times 0,7885
Finalmente:
t approx rho cp times 0,0148 times 0,7885
Para obter o valor numérico do tempo $ t $, seriam necessárias as informações sobre a densidade $ \rho $ e a capacidade térmica específica $ c_p $ da fruta.

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