Frutas recém-colhidas, medindo 2 cm de diâmetro, são resfriadas de 18 a
em resfriador a
, com um coeficiente de transferência de calor superficial de
. Calcule o tempo necessário para resfriar as frutas no resfriador.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos frutas recém-colhidas com um diâmetro de 2 cm que precisam ser resfriadas de 18°C para 7°C em um resfriador cuja temperatura é de -2°C. O coeficiente de transferência de calor superficial é de 16 W/m²K. Nosso objetivo é calcular o tempo necessário para esse resfriamento.
Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de Transferência de Calor, especificamente a Lei do Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda com o tempo quando está em contato com um fluido a uma temperatura diferente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei do Resfriamento de Newton, que é dada por:
Onde:
- $ T $ é a temperatura da fruta no tempo $ t $
- $ T_{amb} $ é a temperatura ambiente (-2°C)
- $ h $ é o coeficiente de transferência de calor (16 W/m²K)
- $ A $ é a área superficial da fruta
- $ m $ é a massa da fruta
- $ c_p $ é a capacidade térmica específica da fruta
Para facilitar, podemos reorganizar a equação e integrar para encontrar o tempo necessário para a fruta atingir a temperatura desejada.
Passo 3
Como não temos a massa $ m $ nem a capacidade térmica específica $ c_p $ da fruta, vamos assumir que a fruta é esférica para calcular a área superficial $ A $ e o volume $ V $.
Primeiro, convertemos o diâmetro para raio:
Agora, calculamos a área superficial $ A $ de uma esfera:
E o volume $ V $:
Passo 4
Agora, reescreveremos a Lei do Resfriamento de Newton para encontrar o tempo $ t $:
Mas como não temos $ m $ e $ c_p $, vamos expressar $ m $ em termos de densidade $ \rho $ e volume $ V $:
Substituindo na equação do tempo:
Calculando o logaritmo:
Portanto, a expressão para o tempo $ t $ fica:
Resposta
O tempo necessário para resfriar as frutas no resfriador é dado por:
Substituindo os valores conhecidos:
Simplificando:
Finalmente:
Para obter o valor numérico do tempo $ t $, seriam necessárias as informações sobre a densidade $ \rho $ e a capacidade térmica específica $ c_p $ da fruta.