Verificar o teorema da divergência para sobre a região limitada por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar o Teorema da Divergência para o campo vetorial numa região limitada pelo cilindro e pelas planos e . O Teorema da Divergência conecta o fluxo do campo vetorial através da superfície fechada com a integral da divergência do campo dentro do volume. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular tanto a integral de superfície quanto a integral de volume da divergência de .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matematicamente, é dada por:
Para o nosso campo , temos:
Então, a divergência é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre a região limitada. Como a região é um cilindro com raio 2 (já que ) e altura de a , é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas.
Em coordenadas cilíndricas, temos , , e o elemento de volume é .
A função que vamos integrar é .
Então, a integral de volume fica:
Passo 4
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Passo 5
Integramos em relação a :
Primeiro, para :
Segundo, para -12 r^2 sintheta:
integral0^2 -12 r^2 sintheta , dr = -12 sintheta times r^33 |0^2 = -4 sintheta times (8 - 0) = -32 sintheta