Verificar o teorema da divergência para A=x i-2 y^2 j+z k sobre a região limitada por x^2+y^2=4 e z=0, z=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar o Teorema da Divergência para o campo vetorial A = x i - 2 y^2 j + z k numa região limitada pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelas planos z=0 e z=3. O Teorema da Divergência conecta o fluxo do campo vetorial através da superfície fechada com a integral da divergência do campo dentro do volume. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular tanto a integral de superfície quanto a integral de volume da divergência de A.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial A. A divergência é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matematicamente, é dada por:
nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z
Para o nosso campo A = x i - 2 y^2 j + z k, temos:
partial Axpartial x = partial xpartial x = 1
partial Aypartial y = partial (-2 y^2)partial y = -4y
partial Azpartial z = partial zpartial z = 1
Então, a divergência é:
nabla cdot A = 1 - 4y + 1 = 2 - 4y

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre a região limitada. Como a região é um cilindro com raio 2 (já que x^2+y^2=4) e altura de z=0 a z=3, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas.
Em coordenadas cilíndricas, temos x = r costheta, y = r sintheta, e o elemento de volume é dV = r , dr , dtheta , dz.
A função que vamos integrar é 2 - 4y = 2 - 4r sintheta.
Então, a integral de volume fica:
integral0^2pi integral0^2 integral0^3 (2 - 4r sintheta) , r , dz , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^3 (2 - 4r sintheta) , r , dz = (2 - 4r sintheta) , r times 3 = 3r(2 - 4r sintheta) = 6r - 12 r^2 sintheta
Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 (6r - 12 r^2 sintheta) , dr , dtheta

Passo 5

Integramos em relação a r:
Primeiro, para 6r:
integral0^2 6r , dr = 6 times r^22 |0^2 = 3 times (4 - 0) = 12
Segundo, para -12 r^2 sintheta:
integral0^2 -12 r^2 sintheta , dr = -12 sintheta times r^33 |0^2 = -4 sintheta times (8 - 0) = -32 sintheta
Agora, a integral fica:
integral0^2pi (12 - 32 sintheta) , dtheta

Passo 6

Finalmente, integramos em relação a theta:
Para 12:
integral0^2pi 12 , dtheta = 12 times 2pi = 24pi
Para -32 sintheta:
integral0^2pi -32 sintheta , dtheta = 32 costheta |0^2pi = 32 (cos 2pi - cos 0) = 32 (1 - 1) = 0
Então, a integral de volume da divergência é:
24pi + 0 = 24pi

Resposta

A verificação do Teorema da Divergência resulta em 24pi.

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