Como fruto do desprezo de muitas coisas é obtida a seguinte equação:
\nabla P=\rho g(-\hat{k}) .
Use o operador “nabla” em coordenadas cartesianas,
\nabla \equiv \frac{\partial}{\partial x} \hat{i}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{j}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{k},
e obtenha uma equação que descreve comportamento da pressão para em relação a cada uma das coordenas x, y e z.

Passo 1

O enunciado dá a condição de equilíbrio hidrostático
\nabla P = \rho\,g\;(-\hat{k})
e pede para usar o operador nabla em coordenadas cartesianas
\nabla \equiv \frac{\partial}{\partial x}\,\hat{i}+\frac{\partial}{\partial y}\,\hat{j}+\frac{\partial}{\partial z}\,\hat{k}
de modo a encontrar as equações diferenciais que descrevem como a pressão P varia com x, y e z.

Passo 2

Aplicando o operador nabla à função escalar P(x,y,z) obtemos
\nabla P = \frac{\partial P}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial P}{\partial y}\,\hat{j} + \frac{\partial P}{\partial z}\,\hat{k}.

Passo 3

Comparando componente a componente com o vetor \rho\,g\,(-\hat{k}), vemos que
\frac{\partial P}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial z} = -\rho\,g.
Isto mostra que P é uniforme em x e y e decresce linearmente com z.

Passo 4

Para obter P(z), integramos
\frac{\partial P}{\partial z} = -\rho\,g
em relação a z, o que dá
P(z) = -\rho\,g\,z + C,
onde C é constante (independente de x,y,z pois \partial P/\partial x=\partial P/\partial y=0).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial P}{\partial z}=-\rho\,g
Integrando em z:
P(z) = -\rho\,g\,z + C.

Exercícios relacionados