O que é o gradiente de uma função escalar
,
? Explique conceitualmente.
Passo 1
O enunciado pede uma explicação conceitual do gradiente de uma função escalar
. Estamos no contexto de cálculo vetorial em
e precisamos usar o conceito de derivadas parciais e derivada direcional para entender o que é
.
Passo 2
Definimos o gradiente como o vetor cu componentes são as derivadas parciais de
. Em coordenadas cartesianas em
:
Esse vetor sintetiza todas as taxas de variação de
em cada direção de eixo.
Passo 3
Para relacionar com derivada direcional, escolhemos um vetor unitário
. A taxa de variação de
na direção de
é
Ou seja, o gradiente faz a “projeção” das variações de
em qualquer direção.
Passo 4
Geometricamente,
em cada ponto aponta na direção em que
cresce mais rápido e seu comprimento
é justamente essa taxa máxima de crescimento. Em direções ortogonais ao gradiente, a variação é nula.
Passo 5
Em termos físicos (por exemplo,
sendo um campo de temperatura),
indica para onde o calor “sobe” mais rapidamente e com que intensidade, guiando o sentido e a magnitude da maior variação local de
.
Resposta
O gradiente
é o campo vetorial formado pelas derivadas parciais de
, que em cada ponto aponta na direção de crescimento mais rápido de
e cujo módulo é a taxa máxima desse crescimento.