Considere a seguinte simplicação da Equação de Navier-Stokes:
\rho\left[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}\right]=-\nabla P+\mu \nabla^{2} \vec{v}+\vec{f}
Pratique a “arte do desprezo” e mostre como obter:
a) a equação de Euler
b) uma equação para fluidos estacionários
c) uma equação para fluidos estáticos.
d) Qual seria nesse contexto a diferença entre estacionário e estático.

Passo 1

Resumindo o enunciado: partimos da equação de Navier–Stokes
\rho\Bigl[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}\Bigr] = -\nabla P + \mu\nabla^2\vec{v} + \vec{f}
e, praticando a “arte do desprezo”, vamos desprezar seletivamente termos para obter:
a) a equação de Euler,
b) a equação para fluidos estacionários,
c) a equação para fluidos estáticos,
d) entender a diferença entre estacionário e estático.

Passo 2

Para chegar à equação de Euler, desprezamos o efeito viscoso, ou seja, colocamos \mu=0. A equação simplifica-se a
\rho\Bigl[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}\Bigr] = -\nabla P + \vec{f}
que é justamente a forma não-viscosa de Navier–Stokes, conhecida como equação de Euler.

Passo 3

Para fluidos estacionários, desprezamos a variação temporal: \partial\vec{v}/\partial t=0. Mantendo o termo viscoso, obtemos
\rho\,(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla P + \mu\nabla^2\vec{v} + \vec{f}\,.
Essa é a equação de Navier–Stokes em regime estacionário (fluxo constante no tempo).

Passo 4

Para fluidos estáticos, não há movimento de massa, logo \vec{v}=0. Isso anula tanto \partial\vec{v}/\partial t quanto (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} e faz \nabla^2\vec{v}=0. A equação reduz-se a
0 = -\nabla P + \vec{f}
ou seja,
\nabla P = \vec{f}\,,
que descreve o equilíbrio estático entre gradiente de pressão e força de volume.

Passo 5

A diferença-chave é que “estacionário” significa que o campo de velocidades não muda com o tempo ( \partial\vec{v}/\partial t=0), mas pode existir escoamento ( \vec{v}\neq0). Já “estático” é um caso particular sem escoamento ( \vec{v}=0), de modo que toda aceleração (local e convectiva) se anula.

Resposta

a) Equação de Euler:
\rho\Bigl[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}\Bigr] = -\nabla P + \vec{f}
b) Fluidos estacionários ( \partial\vec{v}/\partial t=0):
\rho\,(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla P + \mu\nabla^2\vec{v} + \vec{f}
c) Fluidos estáticos ( \vec{v}=0):
\nabla P = \vec{f}
d) Em regime estacionário há escoamento constante no tempo ( \vec{v}\neq0), enquanto em regime estático não há escoamento ( \vec{v}=0).

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