A função
, com x em metros e t em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Quais são a velocidade e a aceleração transversal de um ponto da corda no instante em que o ponto possui um deslocamento
?
Passo 1
O enunciado dá a função de deslocamento transversal da corda
com
em metros e
em segundos. Pede-se a velocidade transversal
e a aceleração transversal
de um ponto da corda no instante em que esse ponto tem deslocamento
.
Informações relevantes que temos:
e a fase
aparece dentro do cosseno. Não é dado o
nem
separadamente, apenas sabemos que, no instante considerado,
.
Passo 2
Vamos primeiro passar para unidades do SI (metros) para ficar tudo consistente. Convertendo centímetros para metros:
Reescrevendo a função em unidades do SI:
Passo 3
Precisamos das expressões para velocidade e aceleração transversais de um ponto fixo da corda (fixo em
, variável em
). Usamos derivadas parciais em relação a
.
Regra que vamos usar (cadeia): se
então
e
No nosso caso
. Como
é fixo quando olhamos um ponto da corda,
Portanto as fórmulas simplificadas ficam
e
Outra maneira compacta: se definimos
então
Passo 4
Agora usamos a condição
para obter
.
Com
obtemos
.
Explico: dado sabemos o valor absoluto de
pela identidade pitagórica
, mas o sinal de
depende da fase (se
está em quadrante com seno positivo ou negativo). Como o enunciado não dá
nem
exatos, tanto o seno positivo quanto o negativo são possíveis — isso gera duas possíveis direções da velocidade (opostas), mas a aceleração (que depende de
) é única.
Explico: dado
Passo 5
Calculemos a velocidade
em termos numéricos. Usando
,
e
:
Vamos simplificar passo a passo:
portanto
Valor numérico aproximado (usando
):
Interpretação: o ponto da corda pode estar se movendo para cima (
) ou para baixo (
), dependendo da fase exata.
Passo 6
Agora calculamos a aceleração
. Usando
, com
,
e
:
Calculemos fatores:
. Então
Multiplicando os números:
logo
Valor numérico aproximado (com
):
Observação física: o sinal negativo indica que a aceleração está dirigida no sentido que reduz o deslocamento (é restauradora, típica de ondas harmônicas).
Resposta
Velocidade transversal:
\n
Aceleração transversal:
Aceleração transversal: