A função y(x, t)=15,0 c m \cos \cos (\pi x-15 \pi t), com x em metros e t em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Quais são a velocidade e a aceleração transversal de um ponto da corda no instante em que o ponto possui um deslocamento \mathrm{y}=12,0 \mathrm{~cm} ?

Passo 1

O enunciado dá a função de deslocamento transversal da corda
y(x,t)=15,0\\ \mathrm{cm}\cos(\pi x-15\pi t),
com x em metros e t em segundos. Pede-se a velocidade transversal v_y e a aceleração transversal a_y de um ponto da corda no instante em que esse ponto tem deslocamento y=12,0\\ \mathrm{cm}.
Informações relevantes que temos:
A=15,0\\ \mathrm{cm},\qquad y=12,0\\ \mathrm{cm},
e a fase \varphi(x,t)=\pi x-15\pi t aparece dentro do cosseno. Não é dado o x nem t separadamente, apenas sabemos que, no instante considerado, \cos\varphi=\dfrac{y}{A}=\dfrac{12,0}{15,0}.

Passo 2

Vamos primeiro passar para unidades do SI (metros) para ficar tudo consistente. Convertendo centímetros para metros:
A=0,15\\ \mathrm{m},\qquad y=0,12\\ \mathrm{m}.
Reescrevendo a função em unidades do SI:
y(x,t)=0,15\cos(\varphi),\quad\text{com}\quad \varphi=\pi x-15\pi t.

Passo 3

Precisamos das expressões para velocidade e aceleração transversais de um ponto fixo da corda (fixo em x, variável em t). Usamos derivadas parciais em relação a t.
Regra que vamos usar (cadeia): se y=A\cos\varphi(t) então
\frac{\partial y}{\partial t}=-A\sin\varphi\cdot\frac{\partial\varphi}{\partial t},
e
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-A\left(\frac{\partial\varphi}{\partial t}\right)^2\cos\varphi - A\sin\varphi\cdot\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}.
No nosso caso \varphi=\pi x-15\pi t. Como x é fixo quando olhamos um ponto da corda,
\frac{\partial\varphi}{\partial t}=-15\pi,\qquad \frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}=0.
Portanto as fórmulas simplificadas ficam
v_y=\frac{\partial y}{\partial t}= -A\sin\varphi\cdot(-15\pi)=A(15\pi)\sin\varphi
e
a_y=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-A(15\pi)^2\cos\varphi.
Outra maneira compacta: se definimos \omega=15\pi então
v_y=A\omega\sin\varphi,\qquad a_y=-A\omega^2\cos\varphi.

Passo 4

Agora usamos a condição y=0,12\\ \mathrm{m} para obter \cos\varphi.
\cos\varphi=\frac{y}{A}=\frac{0,12}{0,15}=0,8.
Com \cos\varphi=0,8 obtemos \sin\varphi=\pm\sqrt{1-\cos^2\varphi}=\pm\sqrt{1-0,64}=\pm\sqrt{0,36}=\pm0,6.
Explico: dado \cos\varphi sabemos o valor absoluto de \sin\varphi pela identidade pitagórica \sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1, mas o sinal de \sin\varphi depende da fase (se \varphi está em quadrante com seno positivo ou negativo). Como o enunciado não dá x nem t exatos, tanto o seno positivo quanto o negativo são possíveis — isso gera duas possíveis direções da velocidade (opostas), mas a aceleração (que depende de \cos\varphi) é única.

Passo 5

Calculemos a velocidade v_y em termos numéricos. Usando A=0,15\\ \mathrm{m}, \omega=15\pi e \sin\varphi=\pm0,6:
v_y=A\omega\sin\varphi=0,15\cdot(15\pi)\cdot(\pm0,6).
Vamos simplificar passo a passo:
0,15\cdot15=2,25,\qquad 2,25\cdot0,6=1,35,
portanto
v_y=\pm 1,35\pi\\ \mathrm{m/s}.
Valor numérico aproximado (usando \pi\approx3,1416):
v_y\approx \pm 1,35\cdot3,1416\approx \pm 4,24\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o ponto da corda pode estar se movendo para cima ( +4,24\\ \mathrm{m/s}) ou para baixo ( -4,24\\ \mathrm{m/s}), dependendo da fase exata.

Passo 6

Agora calculamos a aceleração a_y. Usando a_y=-A\omega^2\cos\varphi, com A=0,15\\ \mathrm{m}, \omega=15\pi e \cos\varphi=0,8:
a_y=-0,15\cdot(15\pi)^2\cdot0,8.
Calculemos fatores: (15\pi)^2=225\pi^2. Então
a_y=-0,15\cdot225\pi^2\cdot0,8.
Multiplicando os números:
0,15\cdot225=33,75,\qquad 33,75\cdot0,8=27,0,
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a_y=-27\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}.
Valor numérico aproximado (com \pi^2\approx9,8696):
a_y\approx -27\cdot9,8696\approx -266,48\\ \mathrm{m/s^2}.
Observação física: o sinal negativo indica que a aceleração está dirigida no sentido que reduz o deslocamento (é restauradora, típica de ondas harmônicas).

Resposta

Velocidade transversal: v_y=\pm 1,35\pi\\ \mathrm{m/s}\approx\pm 4,24\\ \mathrm{m/s}\n
Aceleração transversal: a_y=-27\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}\approx -266,48\\ \mathrm{m/s^2}

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