Considere duas ondas unidimensionais dadas por (2) e (3), onde \beta é uma constante e \omega=\pi.
(a) A resultande da soma das duas é uma onda propagante? Explique
(b) Encontre a posição dos nós da onda resultante.
(c) Construa o gráfico da onda resultante como função de x para um tempo fixo.
(d) Encontre a posições em que a amplitude é máxima.
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Passo 1
O enunciado fornece duas ondas unidimensionais e pede quatro coisas: (a) verificar se a soma é uma onda propagante e explicar; (b) encontrar posições dos nós da onda resultante; (c) construir o gráfico da onda resultante como função de x para tempo fixo; (d) encontrar posições em que a amplitude é máxima. As informações dadas são:
com \omega=\pi e \beta constante. Notei que \frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}, então as duas amplitudes são iguais a \sqrt{2}. A soma que precisamos analisar é y(x,t)=y_1+y_2. Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e os dados; a resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Primeiro simplifico a soma usando uma identidade trigonométrica. Como observado,
é um produto de uma função que depende só de x por outra que depende só de t. Isso caracteriza uma onda estacionária (onde há pontos fixos em x — os nós — que não oscilam). Portanto a soma não representa uma onda propagante (não há termo do tipo \sin(kx-\omega t+\varphi) único que descreva uma crista que se move). Em palavras simples: as cristas e vales não se deslocam ao longo de x; a amplitude local oscila no tempo segundo T(t). Isso responde (a).
Passo 6
Nós são posições onde a amplitude espacial é sempre zero, ou seja, onde A(x)=0 para todo t. Assim resolvo
\sin\!\bigg(2x+\frac{\beta}{2}\bigg)=0.
Solução geral da equação \sin \theta=0 é \theta=n\pi com n\in\mathbb{Z}. Logo:
Expliquei por que esses x são nós: para esses valores a parte espacial vale zero, então y(x,t)=0 para todo t. Observação sobre espaçamento: a distância entre nós consecutivos é
\Delta x = \frac{(n+1)\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}=\frac{\pi}{2},
o que concorda com meio comprimento de onda espacial porque o número de onda é k=2 (lembre que \lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi, então nós separados por \lambda/2=\pi/2).
Passo 8
Para construir o gráfico y como função de x em tempo fixo t=t_0, uso a expressão
Isto é uma função senoidal em x com amplitude efetiva 2\sqrt{2}\cos\!\big(\omega t_0+\tfrac{\beta}{2}\big). Procedimento para desenhar:
Determine o fator multiplicativo C:=2\sqrt{2}\cos\!\big(\omega t_0+\tfrac{\beta}{2}\big). Esse número pode ser positivo, negativo ou zero.
Desenhe a senóide \sin(2x+\tfrac{\beta}{2}) com período espacial \lambda=\pi.
Multiplique a senóide por C; isto escala e, se C<0, inverte a onda verticalmente.
Pontos-chave no gráfico: nós em x=\tfrac{n\pi}{2}-\tfrac{\beta}{4} onde y=0 para todo t; antinós (cristas/vales máximos) ocorrerão nos máximos de |\sin| — veremos no passo seguinte. Observação: se \cos\!\big(\omega t_0+\tfrac{\beta}{2}\big)=0 então y\equiv 0 para todo x naquele instante (a interferência é destrutiva em todo lugar no instante).
Passo 9
Posições de amplitude máxima (antinós) são onde |\sin(2x+\tfrac{\beta}{2})|=1. Resolvo
Nessas posições a amplitude espacial atinge \pm 1 e, portanto, a amplitude temporal máxima local (módulo) é
|y|_{\max\\ \text{a cada }x} = 2\sqrt{2}\,\bigg|\cos\!\Big(\omega t+\frac{\beta}{2}\Big)\bigg|.
A amplitude máxima absoluta no tempo (isto é, o envelope máximo que a oscilação local pode atingir ao longo do tempo) é 2\sqrt{2}, alcançada em instantes em que \cos\!\big(\omega t+\tfrac{\beta}{2}\big)=\pm 1.
Passo 10
Resumo físico e conexões práticas para a prova: a soma gerou uma onda estacionária com:
nós em \displaystyle x=\frac{n\pi}{2}-\frac{\beta}{4};
antinós (máxima amplitude espacial) em \displaystyle x=\frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}-\frac{\beta}{4};
espaçamento entre nós igual a \pi/2 e comprimento de onda \lambda=\pi;
amplitude temporal máxima local 2\sqrt{2} (quando \cos(...)=\pm1). Esses pontos são exatamente o que costumam cair em provas: aplicar soma-para-produto, reconhecer onda estacionária, encontrar nós e antinós.
Resposta
(a) Não. A soma é uma onda estacionária (não propagante), pois
(b) Nós: \displaystyle x=\frac{n\pi}{2}-\frac{\beta}{4},\quad n\in\mathbb{Z}.
(c) Para tempo fixo t_0: \displaystyle y(x,t_0)=2\sqrt{2}\cos\!\bigg(\omega t_0+\frac{\beta}{2}\bigg)\sin\!\bigg(2x+\frac{\beta}{2}\bigg), ou seja, uma senóide espacial de período \lambda=\pi com amplitude 2\sqrt{2}\cos\!\big(\omega t_0+\tfrac{\beta}{2}\big); nós em x=\tfrac{n\pi}{2}-\tfrac{\beta}{4}.
(d) Antinós (máxima amplitude espacial): \displaystyle x=\frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}-\frac{\beta}{4},\quad n\in\mathbb{Z}.