Considere duas ondas unidimensionais dadas por (2) e (3), onde \beta é uma constante e \omega=\pi.
(a) A resultande da soma das duas é uma onda propagante? Explique
(b) Encontre a posição dos nós da onda resultante.
(c) Construa o gráfico da onda resultante como função de x para um tempo fixo.
(d) Encontre a posições em que a amplitude é máxima.
\begin{gathered} y_{1}(x, t)=\sqrt{2} \operatorname{sen}(2 x-\omega t) \\\ y_{2}(x, t)=\frac{2}{\sqrt{2}} \operatorname{sen}(2 x+\omega t+\beta) \end{gathered}

  1. { }^{1} Sua assinatura deve ser inserida neste local.

Passo 1

O enunciado fornece duas ondas unidimensionais e pede quatro coisas: (a) verificar se a soma é uma onda propagante e explicar; (b) encontrar posições dos nós da onda resultante; (c) construir o gráfico da onda resultante como função de x para tempo fixo; (d) encontrar posições em que a amplitude é máxima. As informações dadas são:
y_{1}(x,t)=\sqrt{2}\,\sin(2x-\omega t)
y_{2}(x,t)=\frac{2}{\sqrt{2}}\,\sin(2x+\omega t+\beta)
com \omega=\pi e \beta constante. Notei que \frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}, então as duas amplitudes são iguais a \sqrt{2}. A soma que precisamos analisar é y(x,t)=y_1+y_2. Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e os dados; a resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Primeiro simplifico a soma usando uma identidade trigonométrica. Como observado,
y(x,t)=\sqrt{2}\,\sin(2x-\omega t)+\sqrt{2}\,\sin(2x+\omega t+\beta).
Fatorando \sqrt{2},
y(x,t)=\sqrt{2}\big[\sin(2x-\omega t)+\sin(2x+\omega t+\beta)\big].

Passo 3

Vou usar a identidade soma-para-produto (aquela que é muito útil em somas de senos): para quaisquer ângulos A e B,
\sin A+\sin B=2\sin\!\bigg(\frac{A+B}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\frac{A-B}{2}\bigg).
Aqui escolho A=2x-\omega t e B=2x+\omega t+\beta. Calculo:
\frac{A+B}{2}=\frac{(2x-\omega t)+(2x+\omega t+\beta)}{2}=2x+\frac{\beta}{2},
\frac{A-B}{2}=\frac{(2x-\omega t)-(2x+\omega t+\beta)}{2}=-\omega t-\frac{\beta}{2}.
Como \cos é par, \cos\!\big(-\omega t-\frac{\beta}{2}\big)=\cos\!\big(\omega t+\frac{\beta}{2}\big).

Passo 4

Aplicando a identidade ao par de senos da soma e usando as expressões acima obtenho:
y(x,t)=\sqrt{2}\cdot 2\sin\!\bigg(2x+\frac{\beta}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\omega t+\frac{\beta}{2}\bigg).
Logo, em forma mais simples,
y(x,t)=2\sqrt{2}\,\sin\!\bigg(2x+\frac{\beta}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\omega t+\frac{\beta}{2}\bigg).

Passo 5

Interpreto a expressão obtida. A forma
y(x,t)=\underbrace{2\sqrt{2}\,\sin\!\bigg(2x+\frac{\beta}{2}\bigg)}_{\text{parte espacial }A(x)}\cdot\underbrace{\cos\!\bigg(\omega t+\frac{\beta}{2}\bigg)}_{\text{parte temporal }T(t)}
é um produto de uma função que depende só de x por outra que depende só de t. Isso caracteriza uma onda estacionária (onde há pontos fixos em x — os nós — que não oscilam). Portanto a soma não representa uma onda propagante (não há termo do tipo \sin(kx-\omega t+\varphi) único que descreva uma crista que se move). Em palavras simples: as cristas e vales não se deslocam ao longo de x; a amplitude local oscila no tempo segundo T(t). Isso responde (a).

Passo 6

Nós são posições onde a amplitude espacial é sempre zero, ou seja, onde A(x)=0 para todo t. Assim resolvo
\sin\!\bigg(2x+\frac{\beta}{2}\bigg)=0.
Solução geral da equação \sin \theta=0 é \theta=n\pi com n\in\mathbb{Z}. Logo:
2x+\frac{\beta}{2}=n\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{n\pi}{2}-\frac{\beta}{4},\qquad n\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Expliquei por que esses x são nós: para esses valores a parte espacial vale zero, então y(x,t)=0 para todo t. Observação sobre espaçamento: a distância entre nós consecutivos é
\Delta x = \frac{(n+1)\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}=\frac{\pi}{2},
o que concorda com meio comprimento de onda espacial porque o número de onda é k=2 (lembre que \lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi, então nós separados por \lambda/2=\pi/2).

Passo 8

Para construir o gráfico y como função de x em tempo fixo t=t_0, uso a expressão
y(x,t_0)=2\sqrt{2}\,\cos\!\bigg(\omega t_0+\frac{\beta}{2}\bigg)\sin\!\bigg(2x+\frac{\beta}{2}\bigg).
Isto é uma função senoidal em x com amplitude efetiva 2\sqrt{2}\cos\!\big(\omega t_0+\tfrac{\beta}{2}\big). Procedimento para desenhar:
  • Determine o fator multiplicativo C:=2\sqrt{2}\cos\!\big(\omega t_0+\tfrac{\beta}{2}\big). Esse número pode ser positivo, negativo ou zero.
  • Desenhe a senóide \sin(2x+\tfrac{\beta}{2}) com período espacial \lambda=\pi.
  • Multiplique a senóide por C; isto escala e, se C<0, inverte a onda verticalmente.
    Pontos-chave no gráfico: nós em x=\tfrac{n\pi}{2}-\tfrac{\beta}{4} onde y=0 para todo t; antinós (cristas/vales máximos) ocorrerão nos máximos de |\sin| — veremos no passo seguinte. Observação: se \cos\!\big(\omega t_0+\tfrac{\beta}{2}\big)=0 então y\equiv 0 para todo x naquele instante (a interferência é destrutiva em todo lugar no instante).

Passo 9

Posições de amplitude máxima (antinós) são onde |\sin(2x+\tfrac{\beta}{2})|=1. Resolvo
2x+\frac{\beta}{2}=\frac{\pi}{2}+n\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}-\frac{\beta}{4},\qquad n\in\mathbb{Z}.
Nessas posições a amplitude espacial atinge \pm 1 e, portanto, a amplitude temporal máxima local (módulo) é
|y|_{\max\\ \text{a cada }x} = 2\sqrt{2}\,\bigg|\cos\!\Big(\omega t+\frac{\beta}{2}\Big)\bigg|.
A amplitude máxima absoluta no tempo (isto é, o envelope máximo que a oscilação local pode atingir ao longo do tempo) é 2\sqrt{2}, alcançada em instantes em que \cos\!\big(\omega t+\tfrac{\beta}{2}\big)=\pm 1.

Passo 10

Resumo físico e conexões práticas para a prova: a soma gerou uma onda estacionária com:
  • expressão fechada \displaystyle y(x,t)=2\sqrt{2}\sin\!\bigg(2x+\frac{\beta}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\omega t+\frac{\beta}{2}\bigg);
  • nós em \displaystyle x=\frac{n\pi}{2}-\frac{\beta}{4};
  • antinós (máxima amplitude espacial) em \displaystyle x=\frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}-\frac{\beta}{4};
  • espaçamento entre nós igual a \pi/2 e comprimento de onda \lambda=\pi;
  • amplitude temporal máxima local 2\sqrt{2} (quando \cos(...)=\pm1). Esses pontos são exatamente o que costumam cair em provas: aplicar soma-para-produto, reconhecer onda estacionária, encontrar nós e antinós.

Resposta

(a) Não. A soma é uma onda estacionária (não propagante), pois
y(x,t)=2\sqrt{2}\sin\!\bigg(2x+\frac{\beta}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\omega t+\frac{\beta}{2}\bigg).
(b) Nós: \displaystyle x=\frac{n\pi}{2}-\frac{\beta}{4},\quad n\in\mathbb{Z}.
(c) Para tempo fixo t_0: \displaystyle y(x,t_0)=2\sqrt{2}\cos\!\bigg(\omega t_0+\frac{\beta}{2}\bigg)\sin\!\bigg(2x+\frac{\beta}{2}\bigg), ou seja, uma senóide espacial de período \lambda=\pi com amplitude 2\sqrt{2}\cos\!\big(\omega t_0+\tfrac{\beta}{2}\big); nós em x=\tfrac{n\pi}{2}-\tfrac{\beta}{4}.
(d) Antinós (máxima amplitude espacial): \displaystyle x=\frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}-\frac{\beta}{4},\quad n\in\mathbb{Z}.

Exercícios relacionados