Considere um disco de raio R e massa M uniformemente distribuída. A uma distância r do centro do disco e, ao longo de seu eixo principal, é colocada uma massa pontual m.
(a) Encontre a energia potencial do sistema.
(b) Construa o gráfico da energia potencial como função de r.
(c) Encontre a força do disco sobre m.
(d) Encontre a força de m sobre o disco.

Passo 1

O enunciado dá um disco uniforme de raio R e massa total M. Ao longo do eixo do disco, a uma distância r do centro, está uma massa pontual m. As perguntas são:
(a) encontrar a energia potencial gravitacional do sistema U(r);
(b) construir (descrever) o gráfico de U(r) em função de r;
(c) encontrar a força que o disco exerce sobre m;
(d) encontrar a força que m exerce sobre o disco.
Informações relevantes dadas: R, M, m e a posição do ponto sobre o eixo a distância r do centro. Vamos usar a lei da gravitação newtoniana e tratar o disco como distribuição contínua de massa (distribuição superficial uniforme).

Passo 2

Ideia de resolução e conceitos básicos usados (explicação didática curta). Para calcular a energia potencial gravitacional entre o disco e a massa pontual, eu vou decompor o disco em anéis concêntricos: cada anel de raio s e espessura ds tem massa dM e contribui para a energia potencial com
dU = -G\,\frac{m\,dM}{\text{distância do anel ao ponto}}.â
Aqui G é a constante gravitacional. A distância entre um elemento do anel de raio s e o ponto sobre o eixo a distância r do centro é \sqrt{s^{2}+r^{2}} (teorema de Pitágoras). Preciso também da densidade superficial do disco: como a massa total é M e a área é \pi R^{2}, a densidade superficial é
\sigma = \frac{M}{\pi R^{2}}.
A massa de um anel de raio s e espessura ds é a área do anel vezes \sigma, isto é
dM = \sigma \cdot (2\pi s\,ds) = \frac{M}{\pi R^{2}}\cdot 2\pi s\,ds = \frac{2M}{R^{2}}\,s\,ds.
Então a contribuição elementar para a energia potencial é
dU = -G\,\frac{m}{\sqrt{s^{2}+r^{2}}}\,dM = -G\,\frac{m}{\sqrt{s^{2}+r^{2}}}\cdot \frac{2M}{R^{2}}\,s\,ds.

Passo 3

Montagem da integral para a energia potencial total. Somando (integrando) as contribuições dos anéis de s=0 até s=R obtemos
U(r)=\int_{s=0}^{R} dU = -\frac{2GmM}{R^{2}}\int_{0}^{R}\frac{s\,ds}{\sqrt{s^{2}+r^{2}}}.
Agora vou explicar como resolver essa integral passo a passo: a integral tem a forma \int s/\sqrt{s^{2}+r^{2}}\,ds. Uma primitiva direta útil é reconhecer que a derivada de \sqrt{s^{2}+r^{2}} em relação a s é \dfrac{s}{\sqrt{s^{2}+r^{2}}}. Portanto a integral é imediata.

Passo 4

Cálculo explícito da integral e fórmula final para U(r). Usando a observação anterior,
\int_{0}^{R}\frac{s\,ds}{\sqrt{s^{2}+r^{2}}} = \Big[\sqrt{s^{2}+r^{2}}\;\Big]_{0}^{R} = \sqrt{R^{2}+r^{2}}- \sqrt{0^{2}+r^{2}} = \sqrt{R^{2}+r^{2}}- r.
Substituindo na expressão de U(r) obtemos então a energia potencial total:
U(r) = -\frac{2GmM}{R^{2}}\left(\sqrt{R^{2}+r^{2}}-r\right).
Vou conferir rapidamente dois limites para ter certeza que faz sentido físico:
  • Quando r\to\infty, \sqrt{R^{2}+r^{2}}-r\approx \dfrac{R^{2}}{2r}, então
U(r)\approx -\frac{2GmM}{R^{2}}\cdot\frac{R^{2}}{2r} = -\frac{GmM}{r},
que é o potencial de duas massas pontuais quando estamos muito longe (coerente).
  • Em r=0 (massa no centro do eixo), temos
U(0) = -\frac{2GmM}{R^{2}}(\sqrt{R^{2}}-0) = -\frac{2GmM}{R}.
Tudo consistente.

Passo 5

Desenho qualitativo do gráfico de U(r) e comportamento. O resultado é uma função negativa para todo r\ge 0 que cresce (aumenta) com r e tende a zero por baixo quando r\to\infty. Em palavras simples: o potencial é mais negativo perto do disco e vai subindo (em valor, menos negativo) conforme nos afastamos, aproximando-se de 0 à distância infinita. O mínimo (mais negativo) está em r=0 com U(0)=-2GmM/R. Portanto o gráfico é uma curva monótona crescente com assimptota horizontal U=0 em r\to\infty. Não há mínimo local fora de r=0.

Passo 6

Cálculo da força que o disco exerce sobre m. Relação usada: a força axial (ao longo do eixo) é dada por
F(r) = -\frac{dU}{dr},
onde o sinal segue a convenção: r cresce para longe do disco; então se F(r) for negativo significa que a força aponta em direção ao disco. Diferencio U(r) obtida no Passo 4. Escrevo primeiro U(r) = -A\big(\sqrt{R^{2}+r^{2}}-r\big) com A=\dfrac{2GmM}{R^{2}}. Então
\frac{dU}{dr} = -A\left(\frac{r}{\sqrt{R^{2}+r^{2}}}-1\right) = A\left(1-\frac{r}{\sqrt{R^{2}+r^{2}}}\right).
Logo a força sobre m é
F_{\text{disco sobre }m}(r) = -\frac{dU}{dr} = -A\left(1-\frac{r}{\sqrt{R^{2}+r^{2}}}\right).
Substituindo A de volta:
F_{\text{disco sobre }m}(r) = -\frac{2GmM}{R^{2}}\left(1-\frac{r}{\sqrt{R^{2}+r^{2}}}\right).
Observações úteis:
  • O sinal negativo indica que a força aponta no sentido de diminuir r (ou seja, aponta em direção ao disco), como esperado para gravitação.
  • Limites de checagem: para r\to\infty obtemos F\to -\dfrac{GMm}{r^{2}}, novamente o limite de massa pontual; para r=0 obtemos F(0) = -\dfrac{2GMm}{R^{2}}, um valor finito e puxando para o centro.

Passo 7

Força de m sobre o disco (terceira lei de Newton) e conclusão. Pela terceira lei de Newton, a força que m faz sobre o disco é igual em módulo e oposta em direção à força que o disco faz sobre m. Portanto
F_{\text{m sobre disco}}(r) = -F_{\text{disco sobre }m}(r) = \frac{2GmM}{R^{2}}\left(1-\frac{r}{\sqrt{R^{2}+r^{2}}}\right).
Isto é, mesma magnitude, sentido oposto (aponta para aumentar r, ou seja, do disco em direção à massa m).
Pronto — chegamos às fórmulas pedidas, com checagens de limites e interpretação física.

Resposta

(a) \displaystyle U(r) = -\frac{2GmM}{R^{2}}\!\left(\sqrt{R^{2}+r^{2}}-r\right)
(b) Gráfico: U(r) é função negativa e monótona crescente em r\ge 0, com U(0)=-\dfrac{2GmM}{R} e \lim_{r\to\infty}U(r)=0^{-} (assimptota horizontal em U=0).
(c) \displaystyle F_{\text{disco sobre }m}(r) = -\frac{2GmM}{R^{2}}\!\left(1-\frac{r}{\sqrt{R^{2}+r^{2}}}\right) (aponta em direção ao disco)
(d) \displaystyle F_{\text{m sobre disco}}(r) = \frac{2GmM}{R^{2}}\!\left(1-\frac{r}{\sqrt{R^{2}+r^{2}}}\right) (igual em módulo e oposta à (c))

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