Considere um disco de raio
e massa
uniformemente distribuída. A uma distância
do centro do disco e, ao longo de seu eixo principal, é colocada uma massa pontual
.
(a) Encontre a energia potencial do sistema.
(b) Construa o gráfico da energia potencial como função de
.
(c) Encontre a força do disco sobre
.
(d) Encontre a força de
sobre o disco.
(a) Encontre a energia potencial do sistema.
(b) Construa o gráfico da energia potencial como função de
(c) Encontre a força do disco sobre
(d) Encontre a força de
Passo 1
O enunciado dá um disco uniforme de raio
e massa total
. Ao longo do eixo do disco, a uma distância
do centro, está uma massa pontual
. As perguntas são:
(a) encontrar a energia potencial gravitacional do sistema ;
(b) construir (descrever) o gráfico de em função de
;
(c) encontrar a força que o disco exerce sobre ;
(d) encontrar a força que exerce sobre o disco.
Informações relevantes dadas: ,
,
e a posição do ponto sobre o eixo a distância
do centro. Vamos usar a lei da gravitação newtoniana e tratar o disco como distribuição contínua de massa (distribuição superficial uniforme).
(a) encontrar a energia potencial gravitacional do sistema
(b) construir (descrever) o gráfico de
(c) encontrar a força que o disco exerce sobre
(d) encontrar a força que
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Ideia de resolução e conceitos básicos usados (explicação didática curta). Para calcular a energia potencial gravitacional entre o disco e a massa pontual, eu vou decompor o disco em anéis concêntricos: cada anel de raio
e espessura
tem massa
e contribui para a energia potencial com
Aqui
é a constante gravitacional. A distância entre um elemento do anel de raio
e o ponto sobre o eixo a distância
do centro é
(teorema de Pitágoras). Preciso também da densidade superficial do disco: como a massa total é
e a área é
, a densidade superficial é
A massa de um anel de raio
e espessura
é a área do anel vezes
, isto é
Então a contribuição elementar para a energia potencial é
Passo 3
Montagem da integral para a energia potencial total. Somando (integrando) as contribuições dos anéis de
até
obtemos
Agora vou explicar como resolver essa integral passo a passo: a integral tem a forma
. Uma primitiva direta útil é reconhecer que a derivada de
em relação a
é
. Portanto a integral é imediata.
Passo 4
Cálculo explícito da integral e fórmula final para
. Usando a observação anterior,
Substituindo na expressão de
obtemos então a energia potencial total:
Vou conferir rapidamente dois limites para ter certeza que faz sentido físico:
- Quando
, , então
que é o potencial de duas massas pontuais quando estamos muito longe (coerente).
- Em
(massa no centro do eixo), temos
Tudo consistente.
Passo 5
Desenho qualitativo do gráfico de
e comportamento. O resultado é uma função negativa para todo
que cresce (aumenta) com
e tende a zero por baixo quando
. Em palavras simples: o potencial é mais negativo perto do disco e vai subindo (em valor, menos negativo) conforme nos afastamos, aproximando-se de
à distância infinita. O mínimo (mais negativo) está em
com
. Portanto o gráfico é uma curva monótona crescente com assimptota horizontal
em
. Não há mínimo local fora de
.
Passo 6
Cálculo da força que o disco exerce sobre
. Relação usada: a força axial (ao longo do eixo) é dada por
onde o sinal segue a convenção:
cresce para longe do disco; então se
for negativo significa que a força aponta em direção ao disco. Diferencio
obtida no Passo 4. Escrevo primeiro
com
. Então
Logo a força sobre
é
Substituindo
de volta:
Observações úteis:
- O sinal negativo indica que a força aponta no sentido de diminuir
(ou seja, aponta em direção ao disco), como esperado para gravitação. - Limites de checagem: para
obtemos , novamente o limite de massa pontual; para obtemos , um valor finito e puxando para o centro.
Passo 7
Força de
sobre o disco (terceira lei de Newton) e conclusão. Pela terceira lei de Newton, a força que
faz sobre o disco é igual em módulo e oposta em direção à força que o disco faz sobre
. Portanto
Isto é, mesma magnitude, sentido oposto (aponta para aumentar
, ou seja, do disco em direção à massa
).
Pronto — chegamos às fórmulas pedidas, com checagens de limites e interpretação física.
Resposta
(a)
(b) Gráfico:
é função negativa e monótona crescente em
, com
e
(assimptota horizontal em
).
(c)
(aponta em direção ao disco)
(d)
(igual em módulo e oposta à (c))