A função f(x, t)=(0,750 \mathrm{~m}) sen [(3,00 \mathrm{rad} / \mathrm{m}) x-a t], em que x está em metros e t está em segundos, corresponde a uma função de onda que se propaga em uma corda, sendo solução da equação de onda \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=\left(4,00 m^{2} / s^{2}\right) \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}. Suponha que a corda possua 10,0 \mathrm{~m} de comprimento e 5,00 \mathrm{~kg} de massa, distribuídos uniformemente. Determine:
a) A frequência linear da onda ( \mathbf{1 0 , 0} pontos);
b) O valor da constante a presente na função de onda (5,0 pontos);
c) A tensão aplicada na corda ( \mathbf{1 0 , 0} pontos).

Passo 1

O enunciado fornece a função de onda
f(x,t)=(0,750\\ \mathrm{m})\operatorname{sen}\bigl[(3,00\\ \mathrm{rad/m})\,x - a\,t\bigr],
a equação de onda
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=\bigl(4,00\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}\bigr)\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},
o comprimento da corda 10,0\\ \mathrm{m} e a massa total 5,00\\ \mathrm{kg} distribuída uniformemente. As perguntas são:
a) Determinar a frequência linear da onda (Hz).
b) Determinar o valor da constante a presente na função de onda.
c) Determinar a tensão aplicada na corda.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
A=0,750\\ \mathrm{m},\qquad k=3,00\\ \mathrm{rad/m},\qquad L=10,0\\ \mathrm{m},\qquad m=5,00\\ \mathrm{kg},
e o coeficiente da equação de onda é 4,00\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.

Passo 2

Vamos reconhecer a forma padrão de uma onda harmônica transversal que aparece no enunciado. A forma geral é
f(x,t)=A\operatorname{sen}\bigl(kx-\omega t\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (deslocamento máximo), em metros;
  • k é o número de onda, em \mathrm{rad/m}, que relaciona-se ao comprimento de onda por k=\dfrac{2\pi}{\lambda};
  • \omega é a frequência angular, em \mathrm{rad/s}, que se relaciona com a frequência linear f por \omega=2\pi f.
No enunciado a fase é (3,00\\ \mathrm{rad/m})x - a t, portanto identificamos k=3,00\\ \mathrm{rad/m} e \omega=a. Ou seja, a constante a é a frequência angular da onda.

Passo 3

Agora vamos usar a equação de onda dada para relacionar \omega e k. Se substituirmos f(x,t)=A\operatorname{sen}(kx-\omega t) nas derivadas parciais temos (mostro os passos essenciais):
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=-\omega^{2}A\operatorname{sen}(kx-\omega t),
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-k^{2}A\operatorname{sen}(kx-\omega t).
Substituindo na equação de onda
-\omega^{2}A\operatorname{sen}(kx-\omega t)=\bigl(4,00\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}\bigr)\bigl(-k^{2}A\operatorname{sen}(kx-\omega t)\bigr).
Como A\operatorname{sen}(kx-\omega t) não é identicamente zero, podemos cancelar esse fator, obtendo a relação
\omega^{2}=\bigl(4,00\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}\bigr)\,k^{2}.

Passo 4

Definimos a velocidade de fase da onda v pela relação v^{2}=4,00\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}. Logo
v=\sqrt{4,00\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}}=2,00\\ \mathrm{m/s}.
Da relação do passo anterior segue \omega^{2}=v^{2}k^{2}, portanto tomando raíz positiva (onda no sentido usual)
\omega=v\,k.
Substituindo v=2,00\\ \mathrm{m/s} e k=3,00\\ \mathrm{rad/m},
\omega=a = 2,00\times 3,00 = 6,00\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Agora calculamos a frequência linear f a partir de \omega=2\pi f. Assim
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{6,00}{2\pi}=\frac{3,00}{\pi}\\ \mathrm{Hz}.
Para um valor numérico aproximado,
f\approx 0,955\\ \mathrm{Hz}.
(Se preferir usar duas casas significativas relevantes, pode anotar f\approx0,96\\ \mathrm{Hz}.)

Passo 6

Para calcular a tensão precisamos da densidade linear de massa \mu da corda, definida por
\mu=\frac{\text{massa total}}{\text{comprimento}}=\frac{m}{L}.
Substituindo os valores do enunciado,
\mu=\frac{5,00\\ \mathrm{kg}}{10,0\\ \mathrm{m}}=0,500\\ \mathrm{kg/m}.
Expliquei: \mu diz quanto de massa há por metro de corda; é necessária para relacionar velocidade de onda e tensão.

Passo 7

A relação entre velocidade de propagação v, tensão T na corda e densidade linear \mu é
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Isolando T,
T=\mu\,v^{2}.
Substituindo \mu=0,500\\ \mathrm{kg/m} e v=2,00\\ \mathrm{m/s},
T=0,500\times(2,00)^{2}=0,500\times 4,00=2,00\\ \mathrm{N}.
Ou seja, a tensão aplicada na corda é 2,00\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Resumo rápido dos resultados intermediários (já calculados): \omega=a=6,00\\ \mathrm{rad/s}, f=3,00/\pi\\ \mathrm{Hz}\approx0,955\\ \mathrm{Hz}, \mu=0,500\\ \mathrm{kg/m} e T=2,00\\ \mathrm{N}. Força para a prova: esses passos (identificar k e \omega, relacionar com equação de onda, calcular \mu e usar v=\sqrt{T/\mu}) são padrão — decora a sequência que salva tempo.

Resposta

(a) f=\dfrac{3,00}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx 0,955\\ \mathrm{Hz}
(b) a=\omega=6,00\\ \mathrm{rad/s}
(c) T=2,00\\ \mathrm{N}

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