A função
sen
, em que
está em metros e
está em segundos, corresponde a uma função de onda que se propaga em uma corda, sendo solução da equação de onda
. Suponha que a corda possua
de comprimento e
de massa, distribuídos uniformemente. Determine:
a) A frequência linear da onda (
pontos);
b) O valor da constante
presente na função de onda (5,0 pontos);
c) A tensão aplicada na corda (
pontos).
a) A frequência linear da onda (
b) O valor da constante
c) A tensão aplicada na corda (
Passo 1
O enunciado fornece a função de onda
a equação de onda
o comprimento da corda
e a massa total
distribuída uniformemente. As perguntas são:
a) Determinar a frequência linear da onda (Hz).
b) Determinar o valor da constante presente na função de onda.
c) Determinar a tensão aplicada na corda.
a) Determinar a frequência linear da onda (Hz).
b) Determinar o valor da constante
c) Determinar a tensão aplicada na corda.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
e o coeficiente da equação de onda é
.
Passo 2
Vamos reconhecer a forma padrão de uma onda harmônica transversal que aparece no enunciado. A forma geral é
onde:
-
é a amplitude (deslocamento máximo), em metros; -
é o número de onda, em , que relaciona-se ao comprimento de onda por ; -
é a frequência angular, em , que se relaciona com a frequência linear por .
No enunciado a fase é
, portanto identificamos
e
. Ou seja, a constante
é a frequência angular da onda.
Passo 3
Agora vamos usar a equação de onda dada para relacionar
e
. Se substituirmos
nas derivadas parciais temos (mostro os passos essenciais):
Substituindo na equação de onda
Como
não é identicamente zero, podemos cancelar esse fator, obtendo a relação
Passo 4
Definimos a velocidade de fase da onda
pela relação
. Logo
Da relação do passo anterior segue
, portanto tomando raíz positiva (onda no sentido usual)
Substituindo
e
,
Passo 5
Agora calculamos a frequência linear
a partir de
. Assim
Para um valor numérico aproximado,
(Se preferir usar duas casas significativas relevantes, pode anotar
.)
Passo 6
Para calcular a tensão precisamos da densidade linear de massa
da corda, definida por
Substituindo os valores do enunciado,
Expliquei:
diz quanto de massa há por metro de corda; é necessária para relacionar velocidade de onda e tensão.
Passo 7
A relação entre velocidade de propagação
, tensão
na corda e densidade linear
é
Isolando
,
Substituindo
e
,
Ou seja, a tensão aplicada na corda é
.
Passo 8
Resumo rápido dos resultados intermediários (já calculados):
,
,
e
. Força para a prova: esses passos (identificar
e
, relacionar com equação de onda, calcular
e usar
) são padrão — decora a sequência que salva tempo.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)