Uma onda estacionária numa corda é representada pela função de onda:
y(x, t)=0,08 m \operatorname{sen}\left[\left(\frac{3 \pi}{2} m^{-1}\right) x\right] \cos \left[\left(10 \pi s^{-1}\right) t\right]
Qual a aceleração de um ponto da corda em x=2 \mathrm{~m}?

Passo 1

O enunciado dá a função de onda e pede a aceleração de um ponto da corda em x=2\\ \mathrm{m}. Informações relevantes dadas:
y(x,t)=0,08\\ \mathrm{m}\,\sin\!\left[\left(\frac{3\pi}{2}\\ \mathrm{m}^{-1}\right)x\right]\cos\!\left[\left(10\pi\\ \mathrm{s}^{-1}\right)t\right].
Dados extraídos da expressão:
A=0{,}08\\ \mathrm{m},\qquad k=\frac{3\pi}{2}\\ \mathrm{m}^{-1},\qquad \omega=10\pi\\ \mathrm{s}^{-1}.
Pergunta a responder: qual a aceleração (no tempo) do ponto da corda situado em x=2\\ \mathrm{m}. Não foi dado um instante específico, então vamos obter a aceleração em função do tempo para x=2\\ \mathrm{m} (e veremos se ela depende do tempo).

Passo 2

Definição e ideia para calcular: a aceleração vertical de um ponto da corda é a segunda derivada parcial de y(x,t) em relação ao tempo. Em fórmulas:
a(x,t)=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}(x,t).
Explicação da regra que vamos usar (cadeia/derivação de funções trigonométricas): se temos \cos(\omega t), a derivada em relação a t é -\omega\sin(\omega t); derivando de novo, obtemos -\omega^2\cos(\omega t). Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcule a primeira derivada temporal \partial y/\partial t. Mantemos x fixo e derivamos só a parte que depende de t:
\frac{\partial y}{\partial t}(x,t)=0{,}08\sin(kx)\cdot\frac{d}{dt}\big[\cos(\omega t)\big].
Usando \dfrac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t), obtemos
\frac{\partial y}{\partial t}(x,t)=-0{,}08\,\omega\sin(kx)\sin(\omega t).

Passo 4

Calcule a segunda derivada temporal \partial^2 y/\partial t^2 derivando a expressão anterior em relação a t:
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}(x,t)=-0{,}08\,\omega\sin(kx)\cdot\frac{d}{dt}\big[\sin(\omega t)\big].
Como \dfrac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t), temos
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}(x,t)=-0{,}08\,\omega\sin(kx)\cdot\omega\cos(\omega t)=-0{,}08\,\omega^{2}\sin(kx)\cos(\omega t).
Observação útil: isso também pode ser visto como
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}(x,t)=-\omega^{2}y(x,t),
pois y(x,t)=0{,}08\sin(kx)\cos(\omega t).

Passo 5

Agora avaliamoa para x=2\\ \mathrm{m}. Primeiro calcule kx:
kx=\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cdot 2 = 3\pi.
Sabemos que \sin(n\pi)=0 para qualquer inteiro n. Como 3\pi corresponde a n=3, temos
\sin(kx)=\sin(3\pi)=0.
Substituindo em \partial^2 y/\partial t^2:
a(2,t)=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}(2,t)=-0{,}08\,\omega^{2}\cdot 0 \cdot \cos(\omega t)=0.

Passo 6

Interpretação física rápida e ânimo: o ponto x=2\\ \mathrm{m} é um nodo da onda (posição em que a corda permanece sempre em y=0), por isso sua aceleração vertical é zero para todo tempo. Então, mesmo sem calcular numericamente \omega^2, concluímos que a aceleração é nula. Força extra de incentivo: encontrar nodos é um bom atalho em provas — olha só como simplificou!

Resposta

0\\ \mathrm{m/s^{2}}

Exercícios relacionados