Uma onda estacionária numa corda é representada pela função de onda:
Qual a aceleração de um ponto da corda em
?
Passo 1
O enunciado dá a função de onda e pede a aceleração de um ponto da corda em
. Informações relevantes dadas:
Dados extraídos da expressão:
Pergunta a responder: qual a aceleração (no tempo) do ponto da corda situado em
. Não foi dado um instante específico, então vamos obter a aceleração em função do tempo para
(e veremos se ela depende do tempo).
Passo 2
Definição e ideia para calcular: a aceleração vertical de um ponto da corda é a segunda derivada parcial de
em relação ao tempo. Em fórmulas:
Explicação da regra que vamos usar (cadeia/derivação de funções trigonométricas): se temos
, a derivada em relação a
é
; derivando de novo, obtemos
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcule a primeira derivada temporal
. Mantemos
fixo e derivamos só a parte que depende de
:
Usando
, obtemos
Passo 4
Calcule a segunda derivada temporal
derivando a expressão anterior em relação a
:
Como
, temos
Observação útil: isso também pode ser visto como
pois
.
Passo 5
Agora avaliamoa para
. Primeiro calcule
:
Sabemos que
para qualquer inteiro
. Como
corresponde a
, temos
Substituindo em
:
Passo 6
Interpretação física rápida e ânimo: o ponto
é um nodo da onda (posição em que a corda permanece sempre em
), por isso sua aceleração vertical é zero para todo tempo. Então, mesmo sem calcular numericamente
, concluímos que a aceleração é nula. Força extra de incentivo: encontrar nodos é um bom atalho em provas — olha só como simplificou!