Uma pessoa está sobre uma grande plataforma. A plataforma está ligada a uma mola horizontal. A plataforma começa a oscilar com período igual
. O coeficiente de atrito estático entre a pessoa e a plataforma é 0,250 . Considere
.
a) Se a amplitude de oscilação for de
, a pessoa escorregará ou não sobre a plataforma? Justifique a sua resposta (15,0 pontos).
b) Calcule a amplitude máxima de oscilação da plataforma para a qual a pessoa não escorregará (
pontos).
a) Se a amplitude de oscilação for de
b) Calcule a amplitude máxima de oscilação da plataforma para a qual a pessoa não escorregará (
Passo 1
O enunciado dá uma plataforma presa a uma mola que oscila horizontalmente com período
. Uma pessoa está sobre a plataforma; o coeficiente de atrito estático entre a pessoa e a plataforma é
. Considere
. Há duas perguntas:
a) Para amplitude de oscilação , a pessoa escorregará ou não? Justifique.
b) Calcular a amplitude máxima para a qual a pessoa não escorregará.
a) Para amplitude de oscilação
b) Calcular a amplitude máxima
Informações relevantes extraídas do enunciado:
,
(no item a)),
,
. A plataforma faz movimento harmônico simples (SHM) horizontal.
Passo 2
Entendendo fisicamente o problema (aula curta): para que a pessoa não escorregue, a força de atrito estático máxima disponível
deve ser maior ou igual da força horizontal necessária para acelerar a pessoa junto com a plataforma. O atrito estático máximo é
onde
é a força normal. Como o movimento é horizontal, a normal é simplesmente
. Logo,
A força necessária para acelerar a pessoa é
, onde
é a aceleração horizontal da plataforma (ou da pessoa, se ela acompanha). Assim a condição para não escorregar é
Note que a massa
cancela depois.
Passo 3
Recordando fórmulas do movimento harmônico simples (SHM): se a posição da plataforma é
então a aceleração é
A amplitude da aceleração (valor máximo do módulo de
) é
Portanto a condição para que a pessoa nunca escorregue em nenhum instante é
Se
a pessoa em algum instante precisa de mais atrito do que o disponível e escorrega.
Passo 4
Calculemos
a partir do período
. A relação é
Substituindo
obtemos
Agora calculemos
:
Passo 5
Item (a): verificação numérica com
. A aceleração máxima que a pessoa precisa seguir é
A aceleração máxima que o atrito estático pode fornecer (por unidade de massa) é
Comparando:
é maior que
. Isso significa que em alguns instantes a plataforma exige uma aceleração horizontal maior do que o atrito consegue fornecer, logo a pessoa não consegue acompanhar e escorrega.
Passo 6
Item (b): derivação da amplitude máxima. Da condição para não escorregar temos
Isolando
,
Substituímos
e
:
Passo 7
Arredondando o resultado com coerência com os algarismos significativos dos dados (dados tipicamente com 3 algarismos significativos), tomamos
Interpretação final: se a amplitude for maior que aproximadamente
, a pessoa escorrega; se for menor ou igual a
, a pessoa não escorrega.
Resposta
a) Sim — a pessoa escorregará, porque
.
b) .
b)