Uma pessoa está sobre uma grande plataforma. A plataforma está ligada a uma mola horizontal. A plataforma começa a oscilar com período igual 4,00 \mathrm{~s}. O coeficiente de atrito estático entre a pessoa e a plataforma é 0,250 . Considere g=10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) Se a amplitude de oscilação for de 2,00 \mathrm{~m}, a pessoa escorregará ou não sobre a plataforma? Justifique a sua resposta (15,0 pontos).
b) Calcule a amplitude máxima de oscilação da plataforma para a qual a pessoa não escorregará ( \mathbf{1 0 , 0} pontos).

Passo 1

O enunciado dá uma plataforma presa a uma mola que oscila horizontalmente com período T=4{,}00\\ \mathrm{s}. Uma pessoa está sobre a plataforma; o coeficiente de atrito estático entre a pessoa e a plataforma é \mu_s=0{,}250. Considere g=10{,}0\\ \mathrm{m/s^2}. Há duas perguntas:
a) Para amplitude de oscilação A=2{,}00\\ \mathrm{m}, a pessoa escorregará ou não? Justifique.
b) Calcular a amplitude máxima A_{\max} para a qual a pessoa não escorregará.
Informações relevantes extraídas do enunciado: T=4{,}00\\ \mathrm{s}, A=2{,}00\\ \mathrm{m} (no item a)), \mu_s=0{,}250, g=10{,}0\\ \mathrm{m/s^2}. A plataforma faz movimento harmônico simples (SHM) horizontal.

Passo 2

Entendendo fisicamente o problema (aula curta): para que a pessoa não escorregue, a força de atrito estático máxima disponível f_{s,\max} deve ser maior ou igual da força horizontal necessária para acelerar a pessoa junto com a plataforma. O atrito estático máximo é
f_{s,\max}=\mu_s N,
onde N é a força normal. Como o movimento é horizontal, a normal é simplesmente N=mg. Logo,
f_{s,\max}=\mu_s mg.
A força necessária para acelerar a pessoa é m a(t), onde a(t) é a aceleração horizontal da plataforma (ou da pessoa, se ela acompanha). Assim a condição para não escorregar é
|m a(t)| \le f_{s,\max}=\mu_s mg.
Note que a massa m cancela depois.

Passo 3

Recordando fórmulas do movimento harmônico simples (SHM): se a posição da plataforma é
x(t)=A\cos(\omega t),
então a aceleração é
a(t) = \ddot{x}(t) = -\omega^2 A\cos(\omega t).
A amplitude da aceleração (valor máximo do módulo de a(t)) é
a_{\max}=\omega^2 A.
Portanto a condição para que a pessoa nunca escorregue em nenhum instante é
\omega^2 A \le \mu_s g.
Se \omega^2 A > \mu_s g a pessoa em algum instante precisa de mais atrito do que o disponível e escorrega.

Passo 4

Calculemos \omega a partir do período T. A relação é
\omega = \frac{2\pi}{T}.
Substituindo T=4{,}00\\ \mathrm{s} obtemos
\omega = \frac{2\pi}{4{,}00} = \frac{\pi}{2}\\ \mathrm{rad/s}\approx 1{,}571\\ \mathrm{rad/s}.
Agora calculemos \omega^2:
\omega^2=\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \approx 2{,}467\\ \mathrm{s^{-2}}.

Passo 5

Item (a): verificação numérica com A=2{,}00\\ \mathrm{m}. A aceleração máxima que a pessoa precisa seguir é
a_{\max}=\omega^2 A \approx 2{,}467\times 2{,}00 = 4{,}935\\ \mathrm{m/s^2}.
A aceleração máxima que o atrito estático pode fornecer (por unidade de massa) é
\mu_s g = 0{,}250\times 10{,}0 = 2{,}50\\ \mathrm{m/s^2}.
Comparando: a_{\max}\approx 4{,}935\\ \mathrm{m/s^2} é maior que \mu_s g=2{,}50\\ \mathrm{m/s^2}. Isso significa que em alguns instantes a plataforma exige uma aceleração horizontal maior do que o atrito consegue fornecer, logo a pessoa não consegue acompanhar e escorrega.

Passo 6

Item (b): derivação da amplitude máxima. Da condição para não escorregar temos
\omega^2 A_{\max} = \mu_s g.
Isolando A_{\max},
A_{\max}=\frac{\mu_s g}{\omega^2}.
Substituímos \mu_s g=2{,}50\\ \mathrm{m/s^2} e \omega^2\approx 2{,}467\\ \mathrm{s^{-2}}:
A_{\max}=\frac{2{,}50}{2{,}467}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}0135\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Arredondando o resultado com coerência com os algarismos significativos dos dados (dados tipicamente com 3 algarismos significativos), tomamos
A_{\max}\approx 1{,}01\\ \mathrm{m}.
Interpretação final: se a amplitude for maior que aproximadamente 1{,}01\\ \mathrm{m}, a pessoa escorrega; se for menor ou igual a 1{,}01\\ \mathrm{m}, a pessoa não escorrega.

Resposta

a) Sim — a pessoa escorregará, porque a_{\max}=\omega^2 A\approx 4{,}935\\ \mathrm{m/s^2}>\mu_s g=2{,}50\\ \mathrm{m/s^2}.
b) A_{\max}\approx 1{,}01\\ \mathrm{m}.

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