A função de Bessel de ordem 1 é definida por
Mostre que
satisfaz a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede pra gente mostrar que a função de Bessel de ordem 1, definida pela série
satisfaz a equação diferencial de Bessel de ordem 1
Vamos derivar termo a termo essa série e substituir na equação.
Passo 2
Começamos escrevendo
onde
Passo 3
Derivando termo a termo, obtemos
Passo 4
Agora montamos cada parte da equação de Bessel:
Passo 5
Somando tudo, o termo geral em potência
fica
Repare que
e também, pela definição de
, vale
Isso mostra que cada coeficiente da série é zero.
Passo 6
Como cada coeficiente de
na soma é nulo, a combinação
é idêntica a zero para todo
. Portanto,
satisfaz a equação de Bessel desejada.
Resposta
Mostra-se que ao derivar termo a termo e substituir na combinação x{2}J_{1}’’(x)+xJ_{1}’(x)+(x{2}-1)J_{1}(x), todos os coeficientes das potências de x se anulam, logo essa expressão é identicamente zero e J_{1} satisfaz a equação diferencial.