A função de Bessel de ordem 1 é definida por
J1(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+1n!(n+1)! 2^2 n+1
Mostre que J1 satisfaz a equação diferencial
x^2 J1(x)+xJ1(x)+(x^2-1) J1(x)=0

Passo 1

O enunciado pede pra gente mostrar que a função de Bessel de ordem 1, definida pela série
J1(x)=sumn=0^infty (-1)^nx^2n+1n!(n+1)!2^2n+1,
satisfaz a equação diferencial de Bessel de ordem 1
x^2J1''(x)+xJ1'(x)+(x^2-1)J1(x)=0
Vamos derivar termo a termo essa série e substituir na equação.

Passo 2

Começamos escrevendo
J1(x)=sumn=0^inftyanx^2n+1,
onde
an=(-1)^nn!(n+1)!2^2n+1

Passo 3

Derivando termo a termo, obtemos
J1'(x)=sumn=0^inftyan(2n+1)x^2n,
J1''(x)=sumn=0^inftyan(2n+1)(2n)x^2n-1

Passo 4

Agora montamos cada parte da equação de Bessel:
x^2J1''(x)=sumn=0^inftyan(2n+1)(2n)x^2n+1,
xJ1'(x)=sumn=0^inftyan(2n+1)x^2n+1,
(x^2-1)J1(x)=sumn=0^inftyanx^2n+3-sumn=0^inftyanx^2n+1

Passo 5

Somando tudo, o termo geral em potência x^2n+1 fica
anl[(2n+1)(2n)+(2n+1)-1r]x^2n+1+an-1x^2n+1
Repare que
(2n+1)(2n)+(2n+1)-1=(2n+1)^2-1=4n(n+1)
e também, pela definição de an, vale
an,4n(n+1)+an-1=0
Isso mostra que cada coeficiente da série é zero.

Passo 6

Como cada coeficiente de x^2n+1 na soma é nulo, a combinação
x^2J1''(x)+xJ1'(x)+(x^2-1)J1(x)
é idêntica a zero para todo x. Portanto, J1(x) satisfaz a equação de Bessel desejada.

Resposta

Mostra-se que ao derivar termo a termo e substituir na combinação x{2}J_{1}’’(x)+xJ_{1}’(x)+(x{2}-1)J_{1}(x), todos os coeficientes das potências de x se anulam, logo essa expressão é identicamente zero e J_{1} satisfaz a equação diferencial.

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