Seja
f(x)=sumn=1^infty x^nn2^n
Encontre a soma de cada uma das séries a seguir.
(i) sumn=1^infty n x^n, |x|<1
(ii) sumn=1^infty n2^n

Passo 1

O enunciado pede para achar a soma de duas séries de potências: (i) sumn=1^inftyn x^n para |x|<1; (ii) sumn=1^inftyn2^n. O conteúdo principal é o uso da série geométrica e de sua derivada para gerar séries com fator n.

Passo 2

Começamos pela série geométrica básica. Defina
G(x)=sumn=1^inftyx^n
para |x|<1. Sabemos que
G(x)=x1-x

Passo 3

Diferenciando termo a termo temos
G'(x)=sumn=1^inftyn x^n-1= rac1(1-x)^2
Multiplicando por x obtemos
sumn=1^inftyn x^n= racx(1-x)^2,
que responde a parte (i).

Passo 4

Para a parte (ii), basta notar que
sumn=1^inftyn2^n= sumn=1^inftynl(tfrac12r)^n
é um caso de (i) com x=tfrac12. Logo,
sumn=1^inftyn2^n= ractfrac12l(1-tfrac12r)^2=2

Resposta

(i) dfracx(1-x)^2;
(ii) 2.

Exercícios relacionados