A função característica de um conjunto A\) é definida por \(\chi_{A}(x)= \begin{cases}1, & \text { se } x \in A, \\\\ 0, & \text { se } x \notin A .\end{cases}
Prove que
\chi_{A \cup B}=\chi_{A}+\chi_{B}-\chi_{A} \chi_{B};

Passo 1

O enunciado define a função característica de um conjunto A\) por \[\chi_{A}(x)= \begin{cases} 1,&\text{se }x\in A,\\\\ 0,&\text{se }x\notin A. \end{cases}
E pede para provar que, para quaisquer conjuntos A\] e \(B, vale
\chi_{A\cup B}(x)\;=\;\chi_{A}(x)\;+\;\chi_{B}(x)\;-\;\chi_{A}(x)\,\chi_{B}(x).
O conteúdo aqui é análise pontual de cada valor x e uso da definição por casos.

Passo 2

Duas funções são iguais se, e somente se, elas coincidem em cada x do domínio. Assim, basta fixar um x arbitrário e mostrar que, ao avaliar ambos os lados na mesma x, obtemos sempre o mesmo resultado (0 ou 1).

Passo 3

Analisamos as quatro possibilidades sobre a posição de x em A e em B:
Caso 1: x\notin A e x\notin B.
Então \chi_{A}(x)=0 e \chi_{B}(x)=0. Logo
\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x)-\chi_{A}(x)\chi_{B}(x) =0+0-0\cdot0=0.
Como x\notin A\cup B, também \chi_{A\cup B}(x)=0. Os dois lados coincidem.
Caso 2: x\in A e x\notin B.
Então \chi_{A}(x)=1 e \chi_{B}(x)=0. Logo
\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x)-\chi_{A}(x)\chi_{B}(x) =1+0-1\cdot0=1.
Aqui x\in A\subset A\cup B, então \chi_{A\cup B}(x)=1. Os dois lados coincidem.
Caso 3: x\notin A e x\in B.
Então \chi_{A}(x)=0 e \chi_{B}(x)=1. Logo
\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x)-\chi_{A}(x)\chi_{B}(x) =0+1-0\cdot1=1.
Como x\in B\subset A\cup B, \chi_{A\cup B}(x)=1. Coincidência também.
Caso 4: x\in A e x\in B.
Então \chi_{A}(x)=1 e \chi_{B}(x)=1. Logo
\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x)-\chi_{A}(x)\chi_{B}(x) =1+1-1\cdot1=1.
E como x\in A\cup B, temos \chi_{A\cup B}(x)=1. Novamente, os dois lados são iguais.

Passo 4

Em cada caso, constatamos
\chi_{A\cup B}(x) =\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x)-\chi_{A}(x)\,\chi_{B}(x).
Como x era arbitrário, a igualdade vale para todo x, logo as funções são iguais ponto a ponto.

Resposta

\chi_{A\cup B} =\chi_{A}+\chi_{B}-\chi_{A}\,\chi_{B}.

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