A função é contínua em f(x, y)=cccx^2-y^2x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0) ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
é contínua em (0,0). O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis e vamos precisar da definição de limite em R^2 e do conceito de continuidade em um ponto.

Passo 2

Para a função ser contínua em (0,0) precisamos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Vamos testar o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se ele é único.

Passo 3

Tomando o caminho y=x:
f(x,x)=x^2 - x^2x^2 + x^2=0
Então
lim(x,x)to(0,0)f(x,x)=0

Passo 4

Agora tomando o caminho y=0:
f(x,0)=x^2 - 0x^2 + 0=1
Então
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=1

Passo 5

Como obtivemos limites diferentes (0 e 1) ao variar o caminho, o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe. Portanto não pode ser igual a f(0,0)=0 e a função não é contínua em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0).

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