Se 
  é uma função contínua e não negativa em 
 , então a integral 
  é exatamente a área da região abaixo do gráfico de 
  e acima do eixo 
 . Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre integrais! A gente tem uma função contínua e não negativa no intervalo de 
  a 
 , e a integral 
  representa a área abaixo do gráfico dessa função e acima do eixo 
 . Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais definidas e interpretar o gráfico da função no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos trabalhando: 
 . Essa é uma função linear, ou seja, seu gráfico é uma linha reta. Vamos analisar os pontos principais no intervalo de 
  a 
  para desenhar o gráfico.
Passo 3
Vamos calcular os valores de 
  nos extremos do intervalo:
- Quando 
:  - Quando 
:  
Então, no ponto 
  a função começa e no ponto 
  ela termina. Como é uma linha reta, sabemos que todos os valores entre esses pontos também serão positivos, confirmando que 
  é não negativa no intervalo.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral 
 . Para isso, vamos encontrar a antiderivada de 
 .
A antiderivada de 
  é 
 , e a antiderivada de 
  é 
 . Então, a antiderivada de 
  é:
Passo 5
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
Substituindo 
  e 
 , temos:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
Para 
 :
Para 
 :
Passo 7
Subtraindo o valor em 
  do valor em 
 :
Resposta
A integral 
  é igual a 
 .