Se 
  é uma função contínua e não negativa em 
 , então a integral 
  é exatamente a área da região abaixo do gráfico de 
  e acima do eixo 
 . Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
 
Passo 1
Então, a gente tem uma integral definida de 
  a 
  da função 
 . Basicamente, a gente quer calcular a área sob o gráfico dessa função entre esses limites. Para resolver isso, a gente vai precisar saber um pouco sobre cálculo integral, especificamente como integrar funções que envolvem raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função 
 . Essa função é a soma de duas partes: uma constante 
  e a raiz quadrada de 
 . A parte 
  lembra a equação de um círculo, já que 
  descreve um círculo de raio 3. Então, essa parte da função nos dá a parte superior semicircular com raio 3.
Passo 3
Agora, vamos entender o gráfico dessa função no intervalo de 
  a 
 . A constante 
  simplesmente eleva todo o gráfico da semicircunferência em 1 unidade no eixo 
 . Então, o gráfico de 
  começa em 
  com 
  e vai até 
 , onde 
 .
Passo 4
Para calcular a integral 
 , podemos separar a integral em duas partes:
A primeira integral é bem fácil, e a segunda é uma integral que reconhecemos como sendo a área de um quarto de círculo (porque estamos apenas considerando de 
  a 
 ).
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
Para essa segunda integral, sabemos que 
  representa a função de um semicírculo com raio 3. A área de um semicírculo completo seria 
 , mas como estamos indo de 
  a 
 , que é um quarto de círculo, a área é 
 .
Então:
Resposta
Somando as duas partes, temos:
Portanto, a integral 
  é igual a 
 .