A função de Custo Total de um monopolista é dada por
. Em que CT é o Custo Total e
a quantidade produzida. A equação da Demanda do mercado para seu produto é dada por
. em que P é o Prego do produto e Q a Quantidade demandada. Qual deveria ser a quantidade a ser produzida
e qual deve ser o prego
do produto a ser estabelecido pelo monopolista? (2)
Passo 1
O enunciado dá duas informações e pede duas coisas. Informações fornecidas:
- Custo total:
, em que é a quantidade produzida. - Função demanda (preço em função da quantidade):
, em que é o preço de venda por unidade e é a quantidade demandada.
O enunciado pede:
- Determinar a quantidade
que o monopolista deve produzir. - Determinar o preço
que o monopolista deve cobrar.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): o monopolista escolhe
para maximizar o lucro. O lucro
é a diferença entre a receita total
e o custo total
:
A receita total
é o preço multiplicado pela quantidade vendida:
Portanto primeiro vamos escrever
em função de
usando a função demanda que foi dada.
Passo 3
Calcular a receita total
substituindo
na definição:
Fazendo a multiplicação:
Explicação curta: isso representa quanto o monopolista recebe no total ao vender
unidades a um preço que depende de
.
Passo 4
Definir Receita Marginal (MR) e Custo Marginal (MC) e como calcular:
- Receita marginal
é a variação da receita total quando a produção aumenta uma unidade infinitesimalmente. Em cálculo isso é a derivada de em relação a :
- Custo marginal
é a variação do custo total quando a produção aumenta uma unidade infinitesimalmente. É a derivada de em relação a :
Passo 5
Calcular
. Derivando
:
Breve explicação: o termo linear
vira
e o termo quadrático
vira
.
Passo 6
Calcular
. Derivando
:
Explicação: o constante
some na derivada e
vira
.
Passo 7
Condição de maximização do lucro (intuição e aplicação): o monopolista maximiza lucro quando a receita marginal iguala o custo marginal:
Isto porque, enquanto
, produzir uma unidade a mais aumenta o lucro; quando
, produzir uma unidade a mais reduz o lucro. Então igualamos as expressões que encontramos:
Agora resolvemos essa equação para
:
Comentário: isso nos dá a quantidade ótima
.
Passo 8
Encontrar o preço
correspondente usando a curva de demanda. Substituir
em
:
Portanto o preço ótimo é
.
Passo 9
Verificação rápida da segunda ordem (confirmação de máximo): a segunda derivada do lucro é
. Calculando:
logo
o que confirma que a solução encontrada é um máximo local de lucro (boa notícia para o monopolista).
Passo 10
Observação final e incentivo: então o monopolista deve produzir
unidades e cobrar
por unidade. Se quiser depois posso mostrar como calcular o lucro numérico e interpretar elasticidade de demanda nesse ponto — vale a pena porque ajuda a entender poder de mercado. Força nos estudos, já está indo bem!