A função de Custo Total de um monopolista é dada por C T=Q^{2}+1400. Em que CT é o Custo Total e Q a quantidade produzida. A equação da Demanda do mercado para seu produto é dada por \mathrm{P}=1470-20 \mathrm{Q}. em que P é o Prego do produto e Q a Quantidade demandada. Qual deveria ser a quantidade a ser produzida (Q) e qual deve ser o prego (P) do produto a ser estabelecido pelo monopolista? (2)

Passo 1

O enunciado dá duas informações e pede duas coisas. Informações fornecidas:
  • Custo total: C_T = Q^{2} + 1400, em que Q é a quantidade produzida.
  • Função demanda (preço em função da quantidade): P = 1470 - 20Q, em que P é o preço de venda por unidade e Q é a quantidade demandada.
O enunciado pede:
  • Determinar a quantidade Q que o monopolista deve produzir.
  • Determinar o preço P que o monopolista deve cobrar.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): o monopolista escolhe Q para maximizar o lucro. O lucro \pi é a diferença entre a receita total TR e o custo total C_T:
\pi(Q) = TR(Q) - C_T(Q).
A receita total TR é o preço multiplicado pela quantidade vendida:
TR(Q) = P(Q)\cdot Q.
Portanto primeiro vamos escrever TR em função de Q usando a função demanda que foi dada.

Passo 3

Calcular a receita total TR(Q) substituindo P(Q) na definição:
TR(Q) = P(Q)\cdot Q = (1470 - 20Q)\,Q.
Fazendo a multiplicação:
TR(Q) = 1470Q - 20Q^{2}.
Explicação curta: isso representa quanto o monopolista recebe no total ao vender Q unidades a um preço que depende de Q.

Passo 4

Definir Receita Marginal (MR) e Custo Marginal (MC) e como calcular:
  • Receita marginal MR(Q) é a variação da receita total quando a produção aumenta uma unidade infinitesimalmente. Em cálculo isso é a derivada de TR em relação a Q:
MR(Q) = \frac{d\,TR}{dQ}.
  • Custo marginal MC(Q) é a variação do custo total quando a produção aumenta uma unidade infinitesimalmente. É a derivada de C_T em relação a Q:
MC(Q) = \frac{d\,C_T}{dQ}.

Passo 5

Calcular MR(Q). Derivando TR(Q)=1470Q-20Q^{2}:
MR(Q)=\frac{d}{dQ}\bigl(1470Q-20Q^{2}\bigr)=1470-40Q.
Breve explicação: o termo linear 1470Q vira 1470 e o termo quadrático -20Q^{2} vira -40Q.

Passo 6

Calcular MC(Q). Derivando C_T(Q)=Q^{2}+1400:
MC(Q)=\frac{d}{dQ}\bigl(Q^{2}+1400\bigr)=2Q.
Explicação: o constante 1400 some na derivada e Q^{2} vira 2Q.

Passo 7

Condição de maximização do lucro (intuição e aplicação): o monopolista maximiza lucro quando a receita marginal iguala o custo marginal:
MR(Q)=MC(Q).
Isto porque, enquanto MR>MC, produzir uma unidade a mais aumenta o lucro; quando MR<MC, produzir uma unidade a mais reduz o lucro. Então igualamos as expressões que encontramos:
1470-40Q = 2Q.
Agora resolvemos essa equação para Q:
1470 = 42Q,
Q = \frac{1470}{42} = 35.
Comentário: isso nos dá a quantidade ótima Q=35.

Passo 8

Encontrar o preço P correspondente usando a curva de demanda. Substituir Q=35 em P=1470-20Q:
P = 1470 - 20\cdot 35 = 1470 - 700 = 770.
Portanto o preço ótimo é P=770.

Passo 9

Verificação rápida da segunda ordem (confirmação de máximo): a segunda derivada do lucro é MR'(Q)-MC'(Q). Calculando:
MR'(Q)=\frac{d}{dQ}(1470-40Q)=-40,\qquad MC'(Q)=\frac{d}{dQ}(2Q)=2,
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MR'(Q)-MC'(Q)=-40-2=-42<0,
o que confirma que a solução encontrada é um máximo local de lucro (boa notícia para o monopolista).

Passo 10

Observação final e incentivo: então o monopolista deve produzir 35 unidades e cobrar 770 por unidade. Se quiser depois posso mostrar como calcular o lucro numérico e interpretar elasticidade de demanda nesse ponto — vale a pena porque ajuda a entender poder de mercado. Força nos estudos, já está indo bem!

Resposta

Q=35
P=770

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