A probabilidade de que Jorge esteja vivo daqui a 20 anos é de 0,7 e a de que sua esposa Maria esteja viva é de 0,9 . Se assumirmos a independência para ambos.
Determine a probabilidade de que ele ou ela esteja vivo daqui 20 anos.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • A probabilidade de que Jorge esteja vivo daqui a 20 anos é P(J)=0,7.
  • A probabilidade de que Maria esteja viva daqui a 20 anos é P(M)=0,9.
  • Assume-se que os dois eventos são independentes.
O que a questão pede:
  • Determinar a probabilidade de que ele ou ela esteja vivo daqui a 20 anos, ou seja, a probabilidade de que pelo menos um dos dois esteja vivo. Em linguagem de eventos, quer-se P(J \cup M).

Passo 2

Vamos organizar as ideias com notação clara e usar um conceito muito útil: o complemento de um evento.
  • Definir os eventos: J = “Jorge está vivo em 20 anos” e M = “Maria está viva em 20 anos”.
  • O complemento de J é J^{c} = “Jorge NÃO está vivo em 20 anos”. Então
P(J^{c}) = 1 - P(J).
  • O complemento de M é M^{c} = “Maria NÃO está viva em 20 anos”. Então
P(M^{c}) = 1 - P(M).
Agora calculamos esses complementos com os números dados:
P(J^{c}) = 1 - 0,7 = 0,3, \qquad P(M^{c}) = 1 - 0,9 = 0,1.

Passo 3

Um jeito direto e prático de achar P(J\cup M) é usar o complemento “nenhum dos dois está vivo”. Note a identidade lógica:
(J \cup M)^{c} = J^{c} \cap M^{c},
ou seja, “nenhum dos dois está vivo” é o complemento de “pelo menos um está vivo”. Em probabilidades:
P(J\cup M) = 1 - P(J^{c}\cap M^{c}).
Pela hipótese de independência, os eventos J e M são independentes; isso implica que também J^{c} e M^{c} são independentes. Assim:
P(J^{c}\cap M^{c}) = P(J^{c})\cdot P(M^{c}).
Substituindo os valores que já achamos:
P(J^{c}\cap M^{c}) = 0,3 \cdot 0,1 = 0,03.

Passo 4

Agora aplicamos a relação do complemento para obter a probabilidade pedida:
P(J\cup M) = 1 - P(J^{c}\cap M^{c}) = 1 - 0,03 = 0,97.
Interpretação rápida: há 97\% de chance de que pelo menos um entre Jorge e Maria esteja vivo daqui a 20 anos.

Passo 5

Para reforçar, mostro um método alternativo (fórmula da união) que dá o mesmo resultado e que costuma cair em provas. A fórmula geral para dois eventos é
P(J\cup M) = P(J) + P(M) - P(J\cap M).
Com independência,
P(J\cap M) = P(J)\cdot P(M) = 0,7 \cdot 0,9 = 0,63.
Logo
P(J\cup M) = 0,7 + 0,9 - 0,63 = 1,6 - 0,63 = 0,97,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

0,97

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