A probabilidade de que Jorge esteja vivo daqui a 20 anos é de 0,7 e a de que sua esposa Maria esteja viva é de 0,9 . Se assumirmos a independência para ambos.
Determine a probabilidade de que ele ou ela esteja vivo daqui 20 anos.
Determine a probabilidade de que ele ou ela esteja vivo daqui 20 anos.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- A probabilidade de que Jorge esteja vivo daqui a 20 anos é
. - A probabilidade de que Maria esteja viva daqui a 20 anos é
. - Assume-se que os dois eventos são independentes.
O que a questão pede:
- Determinar a probabilidade de que ele ou ela esteja vivo daqui a 20 anos, ou seja, a probabilidade de que pelo menos um dos dois esteja vivo. Em linguagem de eventos, quer-se
.
Passo 2
Vamos organizar as ideias com notação clara e usar um conceito muito útil: o complemento de um evento.
- Definir os eventos:
= “Jorge está vivo em 20 anos” e = “Maria está viva em 20 anos”. - O complemento de
é = “Jorge NÃO está vivo em 20 anos”. Então
- O complemento de
é = “Maria NÃO está viva em 20 anos”. Então
Agora calculamos esses complementos com os números dados:
Passo 3
Um jeito direto e prático de achar
é usar o complemento “nenhum dos dois está vivo”. Note a identidade lógica:
ou seja, “nenhum dos dois está vivo” é o complemento de “pelo menos um está vivo”. Em probabilidades:
Pela hipótese de independência, os eventos
e
são independentes; isso implica que também
e
são independentes. Assim:
Substituindo os valores que já achamos:
Passo 4
Agora aplicamos a relação do complemento para obter a probabilidade pedida:
Interpretação rápida: há
de chance de que pelo menos um entre Jorge e Maria esteja vivo daqui a 20 anos.
Passo 5
Para reforçar, mostro um método alternativo (fórmula da união) que dá o mesmo resultado e que costuma cair em provas. A fórmula geral para dois eventos é
Com independência,
Logo
confirmando o resultado anterior.