A função densidade normal de probabilidade é dada por G(x)=1raiz2 pi integral0^x e^-t^2 / 2 d t. Ache G^prime(x). (Resposta: 1raiz2 pi e^-x^2 / 2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função densidade normal de probabilidade, que é dada por:
G(x) = 1raiz2 pi integral0^x e^-t^2 / 2 , dt
Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar um conceito fundamental do cálculo chamado Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Basicamente, ele diz que se você tem uma função definida por uma integral, como a nossa F(x) = integrala^x f(t) , dt , a derivada dessa função em relação a F^prime(x) = f(x) é igual à função dentro da integral avaliada no ponto .
Matematicamente, se temos:
Então,

Passo 3

Aplicando esse teorema ao nosso caso, identificamos que:
f(t) = 1raiz2 pi e^-t^2 / 2
Então, de acordo com o teorema, a derivada de será simplesmente .

Passo 4

Portanto, derivando G^prime(x) = 1raiz2 pi e^-x^2 / 2 em relação a , temos:

Resposta

G^prime(x) = 1raiz2 pi e^-x^2 / 2

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