Uma função de duas variáveis é dita harmônica se satisfaz a equação
. Mostre que a função
é uma função harmônica.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que ela é harmônica, isto é, que satisfaz a equação
Informações importantes fornecidas:
- A própria definição de função harmônica (a equação acima).
- A expressão explícita de
.
Passo 2
Explicação rápida do que é uma derivada parcial e como vamos proceder: a derivada parcial em relação a
trata
como constante; a derivada parcial em relação a
trata
como constante. Para verificar a equação de Laplace calculamos
,
,
e
e somamos as segundas derivadas. Vou calcular passo a passo.
Passo 3
Calcular
.
A função é
.
Ao derivar em relação a
:
- Para
: é constante (porque é visto como fixo), e a derivada de é . Logo a derivada é . - Para
: é constante e a derivada de é . Logo a derivada é .
Portanto,
Passo 4
Calcular
(derivar
em relação a
novamente).
Partindo de
:
- Derivada de
em relação a é (mesma razão do passo anterior). - Derivada de
em relação a é (derivada de é ).
Logo,
Passo 5
Calcular
.
Voltando a
:
- Para
: é constante e a derivada de em relação a é . Então obtemos . - Para
: é constante e a derivada de em relação a é . Então obtemos .
Assim,
Passo 6
Calcular
(derivar
em relação a
).
A partir de
:
- Derivada de
em relação a é (derivada de é ). - Derivada de
em relação a é (derivada de é , é constante).
Portanto,
Passo 7
Somar as segundas derivadas e simplificar para verificar a equação de Laplace.
Somando
e
:
Agora observe que os termos se cancelam:
-
cancela com . -
cancela com .
Logo a soma é zero:
Conclusão: a função satisfaz a equação de Laplace, portanto é harmônica. Uma observação útil para a prova: cada um dos termos
e
já é harmônico isoladamente (pode testar do mesmo jeito), e como soma de funções harmônicas é harmônica, a soma também é harmônica — isso dá um caminho rápido quando ver formas parecidas.
Resposta
A função é harmônica, pois
.