Uma função de duas variáveis é dita harmônica se satisfaz a equação \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0. Mostre que a função \mathrm{u}(\mathrm{x}, \mathrm{y})= e^{x} \operatorname{seny}+e^{y} \cos x é uma função harmônica.

Passo 1

O enunciado dá a função \,u(x,y)=e^{x}\sin y + e^{y}\cos x\, e pede para mostrar que ela é harmônica, isto é, que satisfaz a equação
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0.
Informações importantes fornecidas:
  • A própria definição de função harmônica (a equação acima).
  • A expressão explícita de u(x,y).

Passo 2

Explicação rápida do que é uma derivada parcial e como vamos proceder: a derivada parcial em relação a x trata y como constante; a derivada parcial em relação a y trata x como constante. Para verificar a equação de Laplace calculamos \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \frac{\partial u}{\partial y} e \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} e somamos as segundas derivadas. Vou calcular passo a passo.

Passo 3

Calcular \frac{\partial u}{\partial x}.
A função é \,u(x,y)=e^{x}\sin y + e^{y}\cos x\,.
Ao derivar em relação a x:
  • Para e^{x}\sin y: \sin y é constante (porque y é visto como fixo), e a derivada de e^{x} é e^{x}. Logo a derivada é e^{x}\sin y.
  • Para e^{y}\cos x: e^{y} é constante e a derivada de \cos x é -\sin x. Logo a derivada é -e^{y}\sin x.
Portanto,
\frac{\partial u}{\partial x}=e^{x}\sin y - e^{y}\sin x.

Passo 4

Calcular \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (derivar \frac{\partial u}{\partial x} em relação a x novamente).
Partindo de \frac{\partial u}{\partial x}=e^{x}\sin y - e^{y}\sin x:
  • Derivada de e^{x}\sin y em relação a x é e^{x}\sin y (mesma razão do passo anterior).
  • Derivada de -e^{y}\sin x em relação a x é -e^{y}\cos x (derivada de \sin x é \cos x).
Logo,
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=e^{x}\sin y - e^{y}\cos x.

Passo 5

Calcular \frac{\partial u}{\partial y}.
Voltando a \,u(x,y)=e^{x}\sin y + e^{y}\cos x\,:
  • Para e^{x}\sin y: e^{x} é constante e a derivada de \sin y em relação a y é \cos y. Então obtemos e^{x}\cos y.
  • Para e^{y}\cos x: \cos x é constante e a derivada de e^{y} em relação a y é e^{y}. Então obtemos e^{y}\cos x.
Assim,
\frac{\partial u}{\partial y}=e^{x}\cos y + e^{y}\cos x.

Passo 6

Calcular \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} (derivar \frac{\partial u}{\partial y} em relação a y).
A partir de \frac{\partial u}{\partial y}=e^{x}\cos y + e^{y}\cos x:
  • Derivada de e^{x}\cos y em relação a y é -e^{x}\sin y (derivada de \cos y é -\sin y).
  • Derivada de e^{y}\cos x em relação a y é e^{y}\cos x (derivada de e^{y} é e^{y}, \cos x é constante).
Portanto,
\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=-e^{x}\sin y + e^{y}\cos x.

Passo 7

Somar as segundas derivadas e simplificar para verificar a equação de Laplace.
Somando \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} e \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \bigl(e^{x}\sin y - e^{y}\cos x\bigr) + \bigl(-e^{x}\sin y + e^{y}\cos x\bigr).
Agora observe que os termos se cancelam:
  • e^{x}\sin y cancela com -e^{x}\sin y.
  • -e^{y}\cos x cancela com +e^{y}\cos x.
Logo a soma é zero:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0.
Conclusão: a função satisfaz a equação de Laplace, portanto é harmônica. Uma observação útil para a prova: cada um dos termos e^{x}\sin y e e^{y}\cos x já é harmônico isoladamente (pode testar do mesmo jeito), e como soma de funções harmônicas é harmônica, a soma também é harmônica — isso dá um caminho rápido quando ver formas parecidas.

Resposta

A função é harmônica, pois \displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0.

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