Seja
uma função que não é definida em um ponto
. Uma função
tal que
se
e tal que
é contínua em
é dita uma extensão contínua de
em
. O ponto
também é chamado de singularidade removível e, por um abuso de linguagem, também é chamado de descontínuadade removível. Se
está definida em
e mesmo assim não é contínua em
e formos capazes de definir uma função
contínua em
e tal que
se
, então
é chamado também de descontínuidade removível e
de extensão contínua de
. Note que em ambos os casos, podemos "concertar"a descontínuidade da função alterando ou inserindo um valor dela no ponto
. Nos itens a seguir, ache a extensão contínua de
no ponto dado:
em
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e o ponto onde precisamos analisar/estender:
- A função é
. - O ponto a analisar é
.
O que o exercício pede: “ache a extensão contínua deno ponto dado”, ou seja, ver se existe uma função tal que para e seja contínua em . Listei as informações relevantes acima.
Passo 2
Entender o comportamento de
para
. Para isso uso a propriedade da função valor absoluto:
- Para
vale . - Para
vale .
Substituo isso empara obter uma forma peça por peça (essa é uma técnica padrão para trabalhar com valor absoluto).
Passo 3
Calcular
em cada ramo:
- Se
então
- Se
então
Observação: em
o denominador é zero, então
não está definida (isso já estava no enunciado).
Passo 4
Interpretação:
Isto é uma descontinuidade tipo “salto” (jump) em (x=2]: os valores imediatamente à esquerda e à direita são diferentes.]
Passo 5
Para existir uma extensão contínua
em
é necessário e suficiente que o limite de
quando
exista finito; nesse caso podemos definir
igual a esse limite. Vou calcular os limites laterais:
- Limite pela direita:
- Limite pela esquerda:
Expliquei: um limite lateral é o valor que a função se aproxima quando
se aproxima de
por um dos lados; aqui os dois lados dão resultados diferentes.
Passo 6
Como
os limites laterais não são iguais. Portanto o limite
não existe. Se o limite não existe, não há número
tal que possamos definir
tornando
contínua em
. Logo não existe extensão contínua de
em
.
Passo 7
Comentário final didático e prático: quando a função tivesse os dois limites laterais iguais a algum
, a “correção” seria simplesmente definir
. Aqui, como os lados dão
e
, não há como escolher um único valor que faça os dois ramos se encontrarem continuamente em
. Assim a descontinuidade é não removível (é uma descontinuidade por salto).
Resposta
Não existe extensão contínua de
em
; os limites laterais são
e
.