Seja f(x) uma função que não é definida em um ponto x_{0} \in \mathbb{R}. Uma função g(x) tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0} e tal que g(x) é contínua em x_{0} é dita uma extensão contínua de f em x_{0}. O ponto x_{0} também é chamado de singularidade removível e, por um abuso de linguagem, também é chamado de descontínuadade removível. Se f(x) está definida em x_{0} e mesmo assim não é contínua em x_{0} e formos capazes de definir uma função g(x) contínua em x_{0} e tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0}, então x_{0} é chamado também de descontínuidade removível e g(x) de extensão contínua de f. Note que em ambos os casos, podemos "concertar"a descontínuidade da função alterando ou inserindo um valor dela no ponto x_{0}. Nos itens a seguir, ache a extensão contínua de f no ponto dado:
f(x)=\frac{|x-2|}{x-2} \quad em x_{0}=2

Passo 1

O enunciado nos dá a função f e o ponto onde precisamos analisar/estender:
  • A função é f(x)=\dfrac{|x-2|}{x-2}.
  • O ponto a analisar é x_{0}=2.
    O que o exercício pede: “ache a extensão contínua de f no ponto dado”, ou seja, ver se existe uma função g tal que g(x)=f(x) para x\neq2 e g seja contínua em x=2. Listei as informações relevantes acima.

Passo 2

Entender o comportamento de f para x\neq2. Para isso uso a propriedade da função valor absoluto:
  • Para x>2 vale |x-2|=x-2.
  • Para x<2 vale |x-2|=-(x-2)=2-x.
    Substituo isso em \dfrac{|x-2|}{x-2} para obter uma forma peça por peça (essa é uma técnica padrão para trabalhar com valor absoluto).

Passo 3

Calcular f(x) em cada ramo:
  • Se x>2 então
f(x)=\frac{|x-2|}{x-2}=\frac{x-2}{x-2}=1.
  • Se x<2 então
f(x)=\frac{|x-2|}{x-2}=\frac{-(x-2)}{x-2}=-1.
Observação: em x=2 o denominador é zero, então f(2) não está definida (isso já estava no enunciado).

Passo 4

Interpretação: f\) é a função que vale \(1\) para todos os \(x>2\) e vale \(-1\) para todos os \(x<2\). Em termos compactos, \[f(x)=\begin{cases} -1, & x<2,\\[4pt] \text{não definida}, & x=2,\\[4pt] 1, & x>2. \end{cases}
Isto é uma descontinuidade tipo “salto” (jump) em (x=2]: os valores imediatamente à esquerda e à direita são diferentes.]

Passo 5

Para existir uma extensão contínua g em x=2 é necessário e suficiente que o limite de f(x) quando x\to2 exista finito; nesse caso podemos definir g(2) igual a esse limite. Vou calcular os limites laterais:
  • Limite pela direita:
\lim_{x\to2^{+}}f(x)=\lim_{x\to2^{+}}1=1.
  • Limite pela esquerda:
\lim_{x\to2^{-}}f(x)=\lim_{x\to2^{-}}(-1)=-1.
Expliquei: um limite lateral é o valor que a função se aproxima quando x se aproxima de 2 por um dos lados; aqui os dois lados dão resultados diferentes.

Passo 6

Como
\lim_{x\to2^{+}}f(x)=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^{-}}f(x)=-1,
os limites laterais não são iguais. Portanto o limite \lim_{x\to2}f(x) não existe. Se o limite não existe, não há número L tal que possamos definir g(2)=L tornando g contínua em 2. Logo não existe extensão contínua de f em x_{0}=2.

Passo 7

Comentário final didático e prático: quando a função tivesse os dois limites laterais iguais a algum L, a “correção” seria simplesmente definir g(2)=L. Aqui, como os lados dão 1 e -1, não há como escolher um único valor que faça os dois ramos se encontrarem continuamente em 2. Assim a descontinuidade é não removível (é uma descontinuidade por salto).

Resposta

Não existe extensão contínua de f em x_{0}=2; os limites laterais são \lim_{x\to2^{-}}f(x)=-1 e \lim_{x\to2^{+}}f(x)=1.

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