Exercício 10. A elasticidade-preço da demanda mede a sensibilidade da quantidade demandada em relação a variações no preço.
(a) Desenhe uma demanda elástica e uma demanda inelástica e explique tais conceitos.
(b) Considere um aumento de preço. Em qual dos dois casos a receita total tende a aumentar e em qual tende a diminuir? Justifique com base na elasticidade.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado pede e o que temos que responder.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. (a) Desenhar (ou descrever graficamente) uma demanda elástica e uma demanda inelástica e explicar os conceitos.
    2. (b) Dado um aumento de preço, dizer em qual dos dois casos a receita total tende a aumentar e em qual tende a diminuir, justificando com base na elasticidade.
  • Informações dadas implicitamente:
    • A elasticidade-preço da demanda mede a sensibilidade da quantidade demandada a variações no preço.
    • Precisamos usar a definição de elasticidade e a relação entre preço, quantidade e receita para justificar o efeito sobre a receita total.

Passo 2

Definição matemática da elasticidade-preço da demanda (explicando cada termo).
  • A elasticidade-preço da demanda em ponto é a razão entre a variação percentual da quantidade demandada e a variação percentual do preço. Em forma matemática de ponto (elasticidade pontual):
E_p=\frac{\%\Delta Q}{\%\Delta P}=\frac{P}{Q}\frac{dQ}{dP}.
  • O que cada símbolo significa:
    • E_p é a elasticidade-preço da demanda (número adimensional).
    • P é o preço do bem.
    • Q é a quantidade demandada ao preço P.
    • \dfrac{dQ}{dP} é a derivada da quantidade em relação ao preço (a inclinação da curva de demanda).
  • Interpretação prática: se E_p=-2, um aumento de 1\% no preço causa uma queda de 2\% na quantidade; sinais negativos ocorrem porque a demanda costuma cair quando o preço sobe.

Passo 3

Definições qualitativas e critério numérico de elástico vs inelástico.
  • Como classificar:
    • Demanda elástica: \lvert E_p\rvert>1. A quantidade responde muito às variações de preço (mudança percentual na quantidade maior que na do preço).
    • Demanda inelástica: \lvert E_p\rvert<1. A quantidade responde pouco às variações de preço (mudança percentual na quantidade menor que na do preço).
    • Caso de unidade: \lvert E_p\rvert=1 chama-se elasticidade unitária.
  • Observação sobre o sinal: praticamente sempre E_p<0 para demanda normal, então podemos escrever elasticidade elástica quando E_p<-1 e inelástica quando -1<E_p<0.

Passo 4

Como “desenhar” (descrever) as duas curvas de demanda — formas e casos extremos.
  • Descrição simples (texto/“desenho” mental):
    • Demanda elástica: curva de demanda relativamente plana (mais horizontal). Pequenas variações em P provocam grandes variações em Q.
      Exemplo ASCII simplificado (vertical é preço, horizontal é quantidade):
      preço
      |
      |
      |
      | ________ (demanda elástica — mais plana)
      |__________________ quantidade
    • Demanda inelástica: curva de demanda relativamente íngreme (mais vertical). Variações em P provocam pequenas variações em Q.
      Exemplo ASCII:
      preço
      |
      | |
      | |
      | |
      | |
      ||_ quantidade (demanda inelástica — mais íngreme)
  • Casos extremos:
    • Demanda perfeitamente elástica: curva horizontal (qualquer aumento do preço zera a quantidade).
    • Demanda perfeitamente inelástica: curva vertical (quantidade não muda com o preço).

Passo 5

Relação entre receita total e elasticidade — dedução matemática passo a passo.
  • Receita total R é o produto do preço pela quantidade:
R = P\cdot Q(P).
  • Queremos saber o efeito de um pequeno aumento de preço sobre a receita. Tomamos a derivada total de R em relação a P:
\frac{dR}{dP}=Q + P\frac{dQ}{dP}.
  • Substituímos \dfrac{dQ}{dP} usando a definição de elasticidade \displaystyle E_p=\frac{P}{Q}\frac{dQ}{dP}. Desse modo,
\frac{dQ}{dP}=\frac{E_p\,Q}{P}.
  • Substituindo na expressão de \dfrac{dR}{dP}:
\frac{dR}{dP}=Q + P\cdot\frac{E_p\,Q}{P}=Q(1+E_p).
  • Interpretação do sinal:
    • Se \dfrac{dR}{dP}>0 então um pequeno aumento de P aumenta R.
    • Como Q>0, o sinal de \dfrac{dR}{dP} é o mesmo de 1+E_p.
    • Portanto:
      • Se 1+E_p>0 ( E_p>-1), a receita aumenta com o preço.
      • Se 1+E_p<0 ( E_p<-1), a receita diminui com o preço.
      • Se E_p=-1, \dfrac{dR}{dP}=0 e a receita é localmente máxima (pequenos aumentos ou quedas do preço não mudam a receita).

Passo 6

Ligar a conclusão matemática com as definições elástico/inelástico e dar a regra prática intuitiva.
  • Como E_p costuma ser negativo, as condições acima traduzem-se em termos absolutos:
    • Demanda inelástica ( \lvert E_p\rvert<1, isto é -1<E_p<0): então E_p>-1 e 1+E_p>0 \dfrac{dR}{dP}>0. Conclusão: um aumento de preço tende a aumentar a receita total.
    • Demanda elástica ( \lvert E_p\rvert>1, isto é E_p<-1): então E_p<-1 e 1+E_p<0 \dfrac{dR}{dP}<0. Conclusão: um aumento de preço tende a diminuir a receita total.
    • Elasticidade unitária ( \lvert E_p\rvert=1, E_p=-1): receita total é máxima (pequeno aumento de preço não altera a receita).

Passo 7

Exemplos numéricos concretos, passo a passo, para fixar a intuição (faça isto na prova se precisar convencer o examinador).
  • Escolha inicial: P_0=10, Q_0=100. Receita inicial R_0=P_0Q_0=10\cdot100=1000.
  • Caso elástico: suponha E_p=-2. Aumenta-se P em 10\% ( P_1=11). A variação percentual em Q será -20\%, então Q_1=100\cdot(1-0,20)=80. Nova receita R_1=11\cdot80=880 (< 1000). Resultado: receita diminuiu.
  • Caso inelástico: suponha E_p=-0,5. Aumenta-se P em 10\% ( P_1=11). A variação percentual em Q será -5\%, então Q_1=100\cdot(1-0,05)=95. Nova receita R_1=11\cdot95=1045 (> 1000). Resultado: receita aumentou.
  • Esses números confirmam a conclusão do passo anterior.

Passo 8

Dicas práticas para prova e observações finais (estilo amigo incentivador).
  • Dica rápida para a prova: escreva a definição de E_p, derive \dfrac{dR}{dP}=Q(1+E_p) e use o sinal de 1+E_p. Isso é curto, elegante e ganha ponto.
  • Lembre-se que elasticidade é geralmente local e pode variar ao longo da curva: em algumas curvas a mesma curva pode ter trechos elásticos e trechos inelásticos.
  • Não confundir inclinação (slope) com elasticidade: inclinação é \dfrac{dQ}{dP} com unidades; elasticidade é adimensional E_p=\dfrac{P}{Q}\dfrac{dQ}{dP}. Mas, intuitivamente, curvas mais “planas” tendem a ter \lvert E_p\rvert maior (mais elásticas) e curvas mais “verticais” tendem a ter \lvert E_p\rvert menor (mais inelásticas).
  • Você está indo bem — concentre-se em memorizar a relação receita-elasticidade e pratique com 2–3 exemplos numéricos rápidos para ganhar confiança.

Resposta

(a) Demanda elástica: curva mais plana (mais horizontal); \lvert E_p\rvert>1. Demanda inelástica: curva mais íngreme (mais vertical); \lvert E_p\rvert<1.
(b) Se o preço aumenta, a receita total tende a aumentar quando a demanda é inelástica ( \lvert E_p\rvert<1) e tende a diminuir quando a demanda é elástica ( \lvert E_p\rvert>1).

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