1. 0 que é uma função de duas variáveis reais? Como podemos descrever o seu domínio e imagem?

Passo 1

O enunciado pergunta o que é uma função de duas variáveis reais e como descrever seu domínio e sua imagem. Vamos lembrar a definição formal de função com domínio em \mathbb{R}^2 e os conceitos básicos de domínio e imagem.

Passo 2

De forma simples, uma função de duas variáveis reais é uma regra que associa a cada par ordenado (x,y) de um certo conjunto D\subset\mathbb{R}^2 exatamente um número real z. Formalmente escrevemos
f: D \to \mathbb{R},
f(x,y)=z.

Passo 3

O domínio de f, denotado por \mathrm{dom}(f) ou simplesmente D, é o conjunto de todos os pares (x,y) em que a regra faz sentido (isto é, onde não há divisão por zero, raiz de número negativo, logaritmo de valor não permitido etc.). Em símbolos:
\mathrm{dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)\text{ está bem definida}\}.á

Passo 4

A imagem de f, denotada por \mathrm{Im}(f) ou f(D), é o conjunto de todos os valores reais que a função assume ao variar (x,y) sobre D. Em linguagem matemática:
\mathrm{Im}(f)=\{\,z\in\mathbb{R}\mid \exists\,(x,y)\in D \text{ tal que }z=f(x,y)\}.

Resposta

O domínio de uma função de duas variáveis reais é um subconjunto D\subset\mathbb{R}^2 que reúne todos os pares (x,y) em que a função está definida. A imagem é um subconjunto de \mathbb{R} formado por todos os valores f(x,y) para (x,y) variando em D.

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