1. Por que é necessário verificar múltiplos caminhos para determinar a existência de um limite em duas variáveis? 0 que isso revela sobre a complexidade do espaço bidimensional?

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que, ao estudar \displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y),
não basta checar um único caminho de aproximação e o que isso diz sobre a “riqueza” do plano \mathbb{R}^2. O conteúdo aqui é limites de funções de duas variáveis e a definição de limite multivariável.

Passo 2

Pela definição, dizemos que
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=L
se, para toda sequência (x_n,y_n)\to(x_0,y_0) dentro do domínio, os valores f(x_n,y_n) tendem a L. Em outras palavras, não importa se nos aproximamos ao longo de uma reta, parábola, espiral ou qualquer curva: o valor de f tem de convergir sempre a L.

Passo 3

Em uma variável só, há dois sentidos principais (esquerda e direita) e basta verificar que \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L.
No plano, no entanto, existem infinitos “sentidos” de aproximação, pois podemos folhear todas as retas que passam por (x_0,y_0), curvas polinomiais, exponenciais, senoidais etc. Bastaria encontrar duas trajetórias diferentes que levem a valores distintos para concluir que o limite não existe.

Passo 4

Essa necessidade de examinar várias trajetórias revela que o espaço bidimensional é muito mais “rico” que a reta: há infinitas direções e formas de chegar a um ponto. Isso torna a análise de continuidade e limites em \mathbb{R}^2 muito mais sutil, pois basta um único caminho contraditório para quebrar a convergência uniforme exigida pela definição de limite multivariável.

Resposta

É preciso verificar múltiplos caminhos porque, em \mathbb{R}^2, há infinitas formas de aproximar-se de um ponto. Um limite existe somente se todas essas trajetórias trouxerem o mesmo valor. Essa condição evidencia a complexidade do plano, já que não basta controlar dois sentidos como em \mathbb{R}, mas sim um universo infinito de direções e curvas.

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