- Por que é necessário verificar múltiplos caminhos para determinar a existência de um limite em duas variáveis? 0 que isso revela sobre a complexidade do espaço bidimensional?
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que, ao estudar
,
não basta checar um único caminho de aproximação e o que isso diz sobre a “riqueza” do plano . O conteúdo aqui é limites de funções de duas variáveis e a definição de limite multivariável.
não basta checar um único caminho de aproximação e o que isso diz sobre a “riqueza” do plano
Passo 2
Pela definição, dizemos que
se, para toda sequência
dentro do domínio, os valores
tendem a
. Em outras palavras, não importa se nos aproximamos ao longo de uma reta, parábola, espiral ou qualquer curva: o valor de
tem de convergir sempre a
.
Passo 3
Em uma variável só, há dois sentidos principais (esquerda e direita) e basta verificar que
.
No plano, no entanto, existem infinitos “sentidos” de aproximação, pois podemos folhear todas as retas que passam por , curvas polinomiais, exponenciais, senoidais etc. Bastaria encontrar duas trajetórias diferentes que levem a valores distintos para concluir que o limite não existe.
No plano, no entanto, existem infinitos “sentidos” de aproximação, pois podemos folhear todas as retas que passam por
Passo 4
Essa necessidade de examinar várias trajetórias revela que o espaço bidimensional é muito mais “rico” que a reta: há infinitas direções e formas de chegar a um ponto. Isso torna a análise de continuidade e limites em
muito mais sutil, pois basta um único caminho contraditório para quebrar a convergência uniforme exigida pela definição de limite multivariável.
Resposta
É preciso verificar múltiplos caminhos porque, em
, há infinitas formas de aproximar-se de um ponto. Um limite existe somente se todas essas trajetórias trouxerem o mesmo valor. Essa condição evidencia a complexidade do plano, já que não basta controlar dois sentidos como em
, mas sim um universo infinito de direções e curvas.