1. Determine se existe o limite da função f(x, y)=\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}} quando (\mathrm{x}, \mathrm{y}) \rightarrow(0,0). Justifique utilizando diferentes caminhos.

Passo 1

O enunciado pede verificar a existência do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
para
f(x,y)=\frac{2xy}{x^2+y^2}.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar o teste de caminhos: se aproximarmos de (0,0) por direções diferentes e obtivermos valores distintos, concluímos que o limite não existe.

Passo 2

Considere o caminho reto y=mx, com m constante. Substituindo em f temos
f(x,mx) =\frac{2x\,(mx)}{x^2+(mx)^2} =\frac{2m\,x^2}{x^2(1+m^2)} =\frac{2m}{1+m^2}.
Esse valor é independente de x (quando x\to0), mas depende de m.

Passo 3

Para m=1 obtemos
\lim_{x\to0}f(x,x) =\frac{2\cdot1}{1+1} =1,
enquanto para m=-1
\lim_{x\to0}f(x,-x) =\frac{2\cdot(-1)}{1+1} =-1.
Como os limites por esses dois caminhos são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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