Função de DuBois-DuBois: Em Medicina, às vezes, se utiliza a seguinte função para determinar a superfície corporal de uma pessoa:
que estabelece uma relação entre a área da superfície
de uma pessoa, o seu peso
e sua altura
.
Passo 1
O enunciado dá a função de DuBois–DuBois
onde
está em
,
em
e
em
. O enunciado não faz uma pergunta explícita, então vou resolver e explicar passo a passo os itens que normalmente aparecem em provas para esse tipo de função (materiais básicos de cálculo multivariável e interpretação física / biomédica):
- Calcular as derivadas parciais
e (com demonstração e interpretação de unidades). - Escrever o gradiente
e a diferencial total (para aproximar variações pequenas). - Calcular as elasticidades (sensibilidade percentual) em relação a
e e explicar o significado. - Fazer uma aplicação numérica típica: avaliar
e as derivadas em e e usar para estimar a variação para pequenas mudanças.
Vou explicar cada conceito antes de aplicá-lo, sem pular etapas — prometo ser paciente e claro.
Passo 2
O que é uma derivada parcial e como calcular (conceito e regra):
- Definição informal:
mede a taxa de variação de quando só varia e fica fixo; é análogo com fixo. - Regra prática (regra da potência): se
com constantes, então .
Aplicando isso a, tratando como constante ao derivar em relação a :
Calcule o coeficiente numérico:
Portanto:
Passo 3
Interpretação e unidades de
:
- Unidade:
em dividido por em dá . - Significado prático: se
for pequeno, (mantendo fixo). Ou seja, é a variação aproximada da área corporal por unidade de massa.
Passo 4
Derivada parcial em relação a
: aplicar a mesma regra, agora tratando
como constante.
Calcule o coeficiente:
Logo:
Interpretação: unidade
(porque
está em
). Essa derivada dá a variação aproximada da área por centímetro de altura, mantendo
fixo.
Passo 5
Gradiente e diferencial total (ideia e uso):
- Gradiente: vetor das derivadas parciais
- Diferencial total / aproximação linear: para pequenas variações
,
Explicação prática: essa fórmula permite estimar
sem calcular a função inteira de novo — muito útil em prova para respostas rápidas.
Passo 6
Elasticidade (sensibilidade percentual) — definição e cálculo:
- Definição: elasticidade de
em relação a é
que mede a variação percentual de
quando
varia 1% (mantendo
fixo).
- Calcule simbolicamente usando a forma da função. Começando por
já obtida:
Simplificando
e potências de
:
Note que
, então a potência some e o fator numérico é
Portanto:
Analogamente para
,
Interpretação direta e preciosa: um aumento de
em
aumenta
em aproximadamente
; um aumento de
em
aumenta
em aproximadamente
. Isso ocorre porque os expoentes da função são justamente as elasticidades.
Passo 7
Aplicação numérica típica: primeiro avaliar
em
e
.
- Vamos calcular passo a passo (aproximações numéricas feitas com logaritmos/exp e arredondamento razoável, permitindo cálculo sem calculadora precisa):
Calculee aproximadamente:
Multiplicando:
Portanto o valor de superfície corporal estimado é aproximadamente
.
Passo 8
Avaliar numericamente as derivadas no ponto
:
- Usando as formas
e os valores já aproximados
e
, note que
Agora calcule:
Interpretação numérica: no ponto considerado, um acréscimo de
na massa aumenta a área corporal em cerca de
(ou
); um acréscimo de
na altura aumenta a área em cerca de
(ou
).
Passo 9
Usar a diferencial para estimar uma variação pequena combinada:
- Exemplo: se
e , então
ou seja cerca de
, que corresponde a uma variação percentual de
o que batiza com a combinação das elasticidades:
números coerentes entre si (diferenças por arredondamento).
Passo 10
Resumo final rápido (ânimo: você já entendeu o essencial — derivadas, interpretação, elasticidade e aproximação linear são exatamente o que costumam pedir em prova. Respira e vamos à resposta objetiva.)