Função de DuBois-DuBois: Em Medicina, às vezes, se utiliza a seguinte função para determinar a superfície corporal de uma pessoa:
S(P, h)=0.0072 P^{0.425} h^{0.725}
que estabelece uma relação entre a área da superfície S\left(m^{2}\right) de uma pessoa, o seu peso P(\mathrm{Kg}) e sua altura h(\mathrm{~cm}).

Passo 1

O enunciado dá a função de DuBois–DuBois
S(P,h)=0{,}0072\,P^{0{,}425}\,h^{0{,}725},
onde S está em \mathrm{m}^2, P em \mathrm{kg} e h em \mathrm{cm}. O enunciado não faz uma pergunta explícita, então vou resolver e explicar passo a passo os itens que normalmente aparecem em provas para esse tipo de função (materiais básicos de cálculo multivariável e interpretação física / biomédica):
  • Calcular as derivadas parciais \partial S/\partial P e \partial S/\partial h (com demonstração e interpretação de unidades).
  • Escrever o gradiente \nabla S e a diferencial total dS (para aproximar variações pequenas).
  • Calcular as elasticidades (sensibilidade percentual) em relação a P e h e explicar o significado.
  • Fazer uma aplicação numérica típica: avaliar S e as derivadas em P=70\\ \mathrm{kg} e h=170\\ \mathrm{cm} e usar dS para estimar a variação para pequenas mudanças.
Vou explicar cada conceito antes de aplicá-lo, sem pular etapas — prometo ser paciente e claro.

Passo 2

O que é uma derivada parcial e como calcular (conceito e regra):
  • Definição informal: \partial S/\partial P mede a taxa de variação de S quando só P varia e h fica fixo; \partial S/\partial h é análogo com P fixo.
  • Regra prática (regra da potência): se f(x)=a\,x^k com a,k constantes, então f'(x)=a\,k\,x^{k-1}.
    Aplicando isso a S(P,h), tratando h como constante ao derivar em relação a P:
\frac{\partial S}{\partial P} =0{,}0072\cdot 0{,}425\;P^{0{,}425-1}\;h^{0{,}725}.
Calcule o coeficiente numérico:
0{,}0072\cdot 0{,}425=0{,}00306.
Portanto:
\boxed{\displaystyle \frac{\partial S}{\partial P}=0{,}00306\;P^{-0{,}575}\;h^{0{,}725}.}

Passo 3

Interpretação e unidades de \partial S/\partial P:
  • Unidade: S em \mathrm{m}^2 dividido por P em \mathrm{kg} \mathrm{m}^2/\mathrm{kg}.
  • Significado prático: se \Delta P for pequeno, \Delta S\approx (\partial S/\partial P)\,\Delta P (mantendo h fixo). Ou seja, \partial S/\partial P é a variação aproximada da área corporal por unidade de massa.

Passo 4

Derivada parcial em relação a h: aplicar a mesma regra, agora tratando P como constante.
\frac{\partial S}{\partial h} =0{,}0072\cdot 0{,}725\;P^{0{,}425}\;h^{0{,}725-1}.
Calcule o coeficiente:
0{,}0072\cdot 0{,}725=0{,}00522.
Logo:
\boxed{\displaystyle \frac{\partial S}{\partial h}=0{,}00522\;P^{0{,}425}\;h^{-0{,}275}.}
Interpretação: unidade \mathrm{m}^2/\mathrm{cm} (porque h está em \mathrm{cm}). Essa derivada dá a variação aproximada da área por centímetro de altura, mantendo P fixo.

Passo 5

Gradiente e diferencial total (ideia e uso):
  • Gradiente: vetor das derivadas parciais
\boxed{\displaystyle \nabla S(P,h)=\left(\frac{\partial S}{\partial P},\;\frac{\partial S}{\partial h}\right).}
  • Diferencial total / aproximação linear: para pequenas variações \Delta P,\Delta h,
\boxed{\displaystyle dS\approx \frac{\partial S}{\partial P}\,dP+\frac{\partial S}{\partial h}\,dh.}
Explicação prática: essa fórmula permite estimar \Delta S sem calcular a função inteira de novo — muito útil em prova para respostas rápidas.

Passo 6

Elasticidade (sensibilidade percentual) — definição e cálculo:
  • Definição: elasticidade de S em relação a P é
E_P=\frac{\partial S}{\partial P}\cdot\frac{P}{S},
que mede a variação percentual de S quando P varia 1% (mantendo h fixo).
  • Calcule simbolicamente usando a forma da função. Começando por \partial S/\partial P já obtida:
\frac{\partial S}{\partial P}\cdot\frac{P}{S} = \frac{0{,}00306\,P^{-0{,}575}\,h^{0{,}725}\cdot P}{0{,}0072\,P^{0{,}425}\,h^{0{,}725}}.
Simplificando h^{0{,}725} e potências de P:
= \frac{0{,}00306}{0{,}0072}\;P^{-0{,}575+1-0{,}425}.
Note que -0{,}575+1-0{,}425}=0, então a potência some e o fator numérico é
\frac{0{,}00306}{0{,}0072}=0{,}425.
Portanto:
\boxed{E_P=0{,}425.}
Analogamente para h,
E_h=\frac{\partial S}{\partial h}\cdot\frac{h}{S}=0{,}725.
Interpretação direta e preciosa: um aumento de 1\% em P aumenta S em aproximadamente 0{,}425\%; um aumento de 1\% em h aumenta S em aproximadamente 0{,}725\%. Isso ocorre porque os expoentes da função são justamente as elasticidades.

Passo 7

Aplicação numérica típica: primeiro avaliar S em P=70\\ \mathrm{kg} e h=170\\ \mathrm{cm}.
  • Vamos calcular passo a passo (aproximações numéricas feitas com logaritmos/exp e arredondamento razoável, permitindo cálculo sem calculadora precisa):
    Calcule P^{0{,}425} e h^{0{,}725} aproximadamente:
70^{0{,}425}\approx 6{,}09,\qquad 170^{0{,}725}\approx 41{,}5.
Multiplicando:
S(70,170)=0{,}0072\cdot 6{,}09\cdot 41{,}5\approx 0{,}0072\cdot 252{,}6\approx 1{,}82\\ \mathrm{m}^2.
Portanto o valor de superfície corporal estimado é aproximadamente 1{,}82\\ \mathrm{m}^2.

Passo 8

Avaliar numericamente as derivadas no ponto (P,h)=(70,170):
  • Usando as formas
\frac{\partial S}{\partial P}=0{,}00306\,P^{-0{,}575}\,h^{0{,}725}, \qquad \frac{\partial S}{\partial h}=0{,}00522\,P^{0{,}425}\,h^{-0{,}275},
e os valores já aproximados P^{0{,}425}\approx 6{,}09 e h^{0{,}725}\approx 41{,}5, note que
P^{-0{,}575}=P^{0{,}425}/P\approx \frac{6{,}09}{70}\approx 0{,}0871, \qquad h^{-0{,}275}=h^{0{,}725}/h\approx \frac{41{,}5}{170}\approx 0{,}244.
Agora calcule:
\frac{\partial S}{\partial P}(70,170)\approx 0{,}00306\cdot 0{,}0871\cdot 41{,}5\approx 0{,}0111\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{kg}.
\frac{\partial S}{\partial h}(70,170)\approx 0{,}00522\cdot 6{,}09\cdot 0{,}244\approx 0{,}00776\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{cm}.
Interpretação numérica: no ponto considerado, um acréscimo de 1\\ \mathrm{kg} na massa aumenta a área corporal em cerca de 0{,}0111\\ \mathrm{m}^2 (ou 111\\ \mathrm{cm}^2); um acréscimo de 1\\ \mathrm{cm} na altura aumenta a área em cerca de 0{,}00776\\ \mathrm{m}^2 (ou 77{,}6\\ \mathrm{cm}^2).

Passo 9

Usar a diferencial para estimar uma variação pequena combinada:
  • Exemplo: se \Delta P=+1\\ \mathrm{kg} e \Delta h=+1\\ \mathrm{cm}, então
\Delta S\approx \frac{\partial S}{\partial P}\Delta P+\frac{\partial S}{\partial h}\Delta h \approx 0{,}0111\cdot 1 + 0{,}00776\cdot 1 \approx 0{,}01886\\ \mathrm{m}^2,
ou seja cerca de 188{,}6\\ \mathrm{cm}^2, que corresponde a uma variação percentual de
\frac{\Delta S}{S}\approx\frac{0{,}01886}{1{,}82}\approx 0{,}0104\approx 1{,}04\%,
o que batiza com a combinação das elasticidades:
\Delta S/S \approx 0{,}425\cdot\frac{\Delta P}{P}+0{,}725\cdot\frac{\Delta h}{h} =0{,}425\cdot\frac{1}{70}+0{,}725\cdot\frac{1}{170}\approx 0{,}01033\\ (1{,}033\%),
números coerentes entre si (diferenças por arredondamento).

Passo 10

Resumo final rápido (ânimo: você já entendeu o essencial — derivadas, interpretação, elasticidade e aproximação linear são exatamente o que costumam pedir em prova. Respira e vamos à resposta objetiva.)

Resposta

\displaystyle \frac{\partial S}{\partial P}=0{,}00306\,P^{-0{,}575}\,h^{0{,}725}
\displaystyle \frac{\partial S}{\partial h}=0{,}00522\,P^{0{,}425}\,h^{-0{,}275}
\displaystyle \nabla S(P,h)=\Big(0{,}00306\,P^{-0{,}575}\,h^{0{,}725},\;0{,}00522\,P^{0{,}425}\,h^{-0{,}275}\Big)
\displaystyle dS\approx \frac{\partial S}{\partial P}\,dP+\frac{\partial S}{\partial h}\,dh
\displaystyle E_P=0{,}425,\qquad E_h=0{,}725
\displaystyle S(70,170)\approx 1{,}82\\ \mathrm{m}^2
\displaystyle \frac{\partial S}{\partial P}(70,170)\approx 0{,}0111\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{kg}
\displaystyle \frac{\partial S}{\partial h}(70,170)\approx 0{,}00776\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{cm}

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