Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f :
(i) f(x, y)=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}
Passo 1
Enunciado dado: a função é f(x,y)=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}. O que se pede: esboçar o gráfico da superfície z=f(x,y) usando as curvas de nível de f. Informações imediatamente úteis que o enunciado nos dá:
A função depende apenas de x^{2}+y^{2}, então é simétrica por rotação em torno do eixo z.
A parte com raiz quadrada impõe condições de sinal (a raiz é sempre não negativa).
Precisamos usar curvas de nível, isto é, os conjuntos \{(x,y): f(x,y)=c\} para vários valores de c, e depois levantar essas curvas à altura z=c para visualizar a superfície.
Passo 2
Definição e cálculo das curvas de nível. Para um valor fixo c consideramos a equação de nível
Como o lado esquerdo é não negativo, isso só faz sentido quando 1-c\ge 0, ou seja
c\le 1.
Elevando ao quadrado (sem perder generalidade porque já exigimos 1-c\ge0):
x^{2}+y^{2}=(1-c)^{2}.
Portanto, para cada c\le 1 a curva de nível é o círculo centrado na origem com raio
r=1-c.
Exemplos numéricos (úteis para esboçar):
Para c=1: r=0 (apenas o ponto (0,0)).
Para c=0: r=1 (círculo de raio 1).
Para c=-1: r=2 (círculo de raio 2).
Para c=\tfrac{1}{2}: r=\tfrac{1}{2}.
Passo 3
Interpretação em coordenadas polares e dependência radial. Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta temos \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r (com r\ge0). Assim a função fica
f(r)=1-r,
ou seja, z=1-r. Observações:
f depende só de r, não de \theta: a superfície é obtida girando uma curva em um plano ao redor do eixo z.
A curva geratriz no plano radial (por exemplo no plano y=0) é dada por
z=1-|x|,
porque r=|x| quando y=0. Essa curva é em forma de “V” com vértice em x=0, z=1.
Passo 4
Forma geométrica da superfície. A equação z=1-r descreve um cone circular reto com:
vértice (ápice) em (0,0,1) (quando r=0);
geratrizes que fazem um ângulo de 45^\circ com o eixo z (porque z decai uma unidade quando r aumenta uma unidade, inclinação igual a 1);
abertura total de 90^\circ (metade 45^\circ);
superfície estendida para baixo indefinidamente (quando r\to\infty, z\to -\infty).
Passo 5
Propriedades úteis para a prova e para desenhar:
Domínio: todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2} (a raiz está sempre definida); não há restrição de (x,y).
Imagem (conjunto de valores de z): (-\infty,1] porque z=1-r e r\ge0.
Diferenciabilidade: a superfície é suave fora do ápice; no ponto (0,0) a derivada parcial não é bem definida (o ápice do cone é um ponto de não diferenciabilidade).
Isto mostra que o vetor normal à curvas de nível aponta radialmente para dentro e que o módulo do gradiente é 1 (porque \big\|-\tfrac{1}{r}(x,y)\big\|=1), confirmando a inclinação constante.
Passo 6
Como esboçar passo a passo usando curvas de nível (procedimento prático):
No plano xy desenhe círculos concêntricos centrados na origem com raios r=1-c para alguns valores de c (por exemplo c=1,0,\tfrac{1}{2},-1).
Eleve cada círculo até a altura z=c. Assim o círculo de raio 1 fica à altura z=0, o de raio 2 à altura z=-1, etc.
Ligando suavemente essas curvas para todos os c\le1 obtém-se um cone reto com vértice em (0,0,1) e geratrizes inclinadas a 45^\circ.
Para verificar, faça a seção y=0: obtém-se a linha em V z=1-|x|, cuja rotação gera exatamente o cone.
Resposta
O gráfico é um cone circular reto dado por z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, com vértice em (0,0,1), curvas de nível (para c\le1) círculos centrados na origem de raio r=1-c, domínio \mathbb{R}^{2} e imagem (-\infty,1].