Uma função f: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} denomina-se função homogênea de grau n, se f(k x, k y)=k^{n} f(x, y), para todo k>0 e para todo (x, y) \in D tais que (k x, k y) \in D. Com base na definição supracitada, verifique se as funções abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, determine seu grau.
f(x, y)=\sqrt{x^{4}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a função f:D\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=\sqrt{x^{4}+y^{4}}
é homogênea segundo a definição: f(kx,ky)=k^{n}f(x,y) para todo k>0 e todo (x,y)\in D com (kx,ky)\in D. Se for homogênea, devemos determinar o grau n.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=\sqrt{x^{4}+y^{4}}.
  • A definição exige verificação para todo k>0.
  • É preciso encontrar n tal que a relação da homogeneidade valha.
Observação sobre domínio: x^{4}+y^{4}\ge 0 para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2, logo a raiz quadrada está bem definida em todo \mathbb{R}^2. Assim, podemos tomar D=\mathbb{R}^2.

Passo 2

Vamos calcular f(kx,ky) diretamente e manipular algebraicamente para ver se aparece um fator k^{n} multiplicando f(x,y).
Começamos substituindo (kx,ky) em f:
f(kx,ky)=\sqrt{(kx)^{4}+(ky)^{4}}.
Agora usamos a propriedade de potências (ab)^{m}=a^{m}b^{m} (válida para a,b reais quando os expoentes fazem sentido; aqui k>0 garante não criar ambiguidade em raízes) para transformar cada termo:
(kx)^{4}=k^{4}x^{4},\qquad (ky)^{4}=k^{4}y^{4}.
Substituindo na raiz:
f(kx,ky)=\sqrt{k^{4}x^{4}+k^{4}y^{4}}.
Fatoramos k^{4} dentro da raiz:
f(kx,ky)=\sqrt{k^{4}(x^{4}+y^{4})}.
Agora usamos a regra \sqrt{a b}=\sqrt{a}\,\sqrt{b} (de novo, k^{4}\ge0 então tudo bem) para separar:
f(kx,ky)=\sqrt{k^{4}}\;\sqrt{x^{4}+y^{4}}.
Calculamos \sqrt{k^{4}}. Como k>0, \sqrt{k^{4}}=(k^{4})^{1/2}=k^{4\cdot\frac{1}{2}}=k^{2}. Assim:
f(kx,ky)=k^{2}\sqrt{x^{4}+y^{4}}.
Mas \sqrt{x^{4}+y^{4}}=f(x,y), portanto chegamos a
f(kx,ky)=k^{2}f(x,y).

Passo 3

A igualdade obtida mostra exatamente a forma exigida pela definição de função homogênea: existe um número n tal que f(kx,ky)=k^{n}f(x,y) para todo k>0 e todo (x,y)\in D. Aqui o expoente é n=2.
Comentário didático curto sobre o passo algébrico: quando temos uma expressão do tipo (x^{m}+y^{m})^{p} e substituímos x\mapsto kx,\;y\mapsto ky, obtemos (k^{m}(x^{m}+y^{m}))^{p}=k^{m p}(x^{m}+y^{m})^{p}. Assim o grau de homogeneidade é m p. No nosso caso m=4 e p=\tfrac{1}{2}, logo n=4\cdot\tfrac{1}{2}=2. Um exemplo simples para fixar: \sqrt{x^{2}+y^{2}} tem m=2,p=\tfrac{1}{2} e grau 1.
Breve observação sobre o sinal de k: a definição pede k>0, então não precisamos nos preocupar com sinais ao extrair raízes. Note que aqui o resultado k^{2} é não negativo e, na prática, também valeria para k<0 porque k^{2} é par, mas seguiremos a definição que exige k>0.

Passo 4

Conclusão clara: a função é homogênea e o grau é obtido pelo cálculo direto mostrado.

Resposta

Sim. Grau 2.

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