Uma função
denomina-se função homogênea de grau
, se
, para todo
e para todo
tais que
. Com base na definição supracitada, verifique se as funções abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, determine seu grau.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se a função
dada por
é homogênea segundo a definição:
para todo
e todo
com
. Se for homogênea, devemos determinar o grau
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A definição exige verificação para todo
. - É preciso encontrar
tal que a relação da homogeneidade valha.
Observação sobre domínio:
para todo
, logo a raiz quadrada está bem definida em todo
. Assim, podemos tomar
.
Passo 2
Vamos calcular
diretamente e manipular algebraicamente para ver se aparece um fator
multiplicando
.
Começamos substituindo
em
:
Agora usamos a propriedade de potências
(válida para
reais quando os expoentes fazem sentido; aqui
garante não criar ambiguidade em raízes) para transformar cada termo:
Substituindo na raiz:
Fatoramos
dentro da raiz:
Agora usamos a regra
(de novo,
então tudo bem) para separar:
Calculamos
. Como
,
. Assim:
Mas
, portanto chegamos a
Passo 3
A igualdade obtida mostra exatamente a forma exigida pela definição de função homogênea: existe um número
tal que
para todo
e todo
. Aqui o expoente é
.
Comentário didático curto sobre o passo algébrico: quando temos uma expressão do tipo
e substituímos
, obtemos
. Assim o grau de homogeneidade é
. No nosso caso
e
, logo
. Um exemplo simples para fixar:
tem
e grau
.
Breve observação sobre o sinal de
: a definição pede
, então não precisamos nos preocupar com sinais ao extrair raízes. Note que aqui o resultado
é não negativo e, na prática, também valeria para
porque
é par, mas seguiremos a definição que exige
.
Passo 4
Conclusão clara: a função é homogênea e o grau é obtido pelo cálculo direto mostrado.
Resposta
Sim. Grau
.