Considerando as funções dadas a seguir, forneça, se possivel, e esboce as curvas de nível para k= 0,1,2,3,4.
f(x, y)=4 x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu forneça e esboce as curvas de nível da função
f(x,y)=4x^{2}+y^{2}
para os valores de k=0,1,2,3,4.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Dada a função f(x,y)=4x^{2}+y^{2}.
  • Para cada k\in\{0,1,2,3,4\} devo determinar a curva de nível definida por \{(x,y)\mid f(x,y)=k\} e descrever/esboçar essa curva.
  • Não há figura fornecida pelo enunciado; vou derivar a forma das curvas e indicar como desenhá‑las.

Passo 2

O que é uma curva de nível (mini‑aula rápida):
Uma curva de nível para um valor fixo k é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=k.
Intuitivamente, é a “linha” onde a função tem o mesmo valor k. Para a função dada, isso significa resolver
4x^{2}+y^{2}=k.
Antes de mais nada, note que 4x^{2}+y^{2}\ge 0 para todo (x,y), logo curvas só existem quando k\ge 0. Para k<0 não haveria pontos.

Passo 3

Colocando a equação em forma canônica (transformação importante para identificar o tipo de curva): partimos de
4x^{2}+y^{2}=k.
Se k>0, dividimos ambos os lados por k para obter a forma padrão de uma elipse:
\frac{4x^{2}}{k}+\frac{y^{2}}{k}=1.
Reescrevendo em termos de quadrados de semi‑eixos, fica mais claro:
\frac{x^{2}}{k/4}+\frac{y^{2}}{k}=1.
Comparando com a forma canônica da elipse \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, identificamos
a^{2}=\frac{k}{4},\quad b^{2}=k.
Portanto os semi‑eixos são
a=\frac{\sqrt{k}}{2},\quad b=\sqrt{k}.
Observação: para todo k>0 temos b>a, ou seja, a elipse é mais estendida ao longo do eixo y (eixo vertical).

Passo 4

Interceptos e vértices (como usar na hora de desenhar a elipse):
  • Interceptos com o eixo x ocorrem em y=0. Da equação 4x^{2}=k obtemos
x=\pm\frac{\sqrt{k}}{2}.
  • Interceptos com o eixo y ocorrem em x=0. Da equação y^{2}=k obtemos
y=\pm\sqrt{k}.
Esses quatro pontos \big(\pm\frac{\sqrt{k}}{2},0\big) e (0,\pm\sqrt{k}) são os vértices da elipse e bastam para esboçar cada curva: basta desenhar uma elipse centrada na origem que passe por esses pontos.

Passo 5

Casos específicos k=0,1,2,3,4 — vou determinar a equação simplificada, os semi‑eixos e os interceptos numéricos para cada um:
k = 0:
4x^{2}+y^{2}=0.
Isso só é satisfeito por (x,y)=(0,0). É um ponto único (elipse degenerada).
k = 1:
4x^{2}+y^{2}=1.
Forma canônica:
\frac{x^{2}}{1/4}+\frac{y^{2}}{1}=1.
Semi‑eixos:
a=\frac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2},\quad b=\sqrt{1}=1.
Interceptos: x=\pm\tfrac{1}{2}, y=\pm 1.
k = 2:
4x^{2}+y^{2}=2.
Forma canônica:
\frac{x^{2}}{2/4}+\frac{y^{2}}{2}=1\quad\text{ou}\quad\frac{x^{2}}{1/2}+\frac{y^{2}}{2}=1.
Semi‑eixos:
a=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071,\quad b=\sqrt{2}\approx 1{,}4142.
Interceptos: x=\pm 0{,}7071, y=\pm 1{,}4142 (valores aproximados).
k = 3:
4x^{2}+y^{2}=3.
Forma canônica:
\frac{x^{2}}{3/4}+\frac{y^{2}}{3}=1.
Semi‑eixos:
a=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660,\quad b=\sqrt{3}\approx 1{,}7321.
Interceptos: x=\pm 0{,}8660, y=\pm 1{,}7321 (aprox.).
k = 4:
4x^{2}+y^{2}=4.
Forma canônica:
\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{4}=1.
Semi‑eixos:
a=\frac{\sqrt{4}}{2}=1,\quad b=\sqrt{4}=2.
Interceptos: x=\pm 1, y=\pm 2.

Passo 6

Como esboçar (dicas práticas para a prova, passo a passo):
  1. Desenhe um sistema de eixos x e y com a origem bem marcada.
  2. Para cada k:
    • Marque os pontos \big(\pm\frac{\sqrt{k}}{2},0\big) no eixo x e (0,\pm\sqrt{k}) no eixo y.
    • Desenhe uma curva suave (elipse) passando por esses quatro pontos, centrada na origem. Lembre que a elipse é mais alongada verticalmente (porque \sqrt{k}>\tfrac{\sqrt{k}}{2}).
  3. Faça isso para k=1,2,3,4. As elipses serão concêntricas (uma dentro da outra) aumentando de tamanho conforme k cresce. Para k=0 desenhe apenas o ponto na origem.
  4. Se quiser precisão, use os valores numéricos dados nos passos anteriores para posicionar cada intercepto.

Passo 7

Observações finais e dicas de memorização:
  • Padrão recorrente: nível k → elipse com semi‑eixos a=\tfrac{\sqrt{k}}{2}, b=\sqrt{k}.
  • Sempre verifique se k\ge 0; caso contrário não há curva real.
  • Na hora da prova, desenhar os quatro vértices já dá um esboço confiável da elipse — não precisa calcular muitos pontos intermediários.

Resposta

k=0: curva de nível é o ponto (0,0).\n
k=1: 4x^{2}+y^{2}=1; elipse com semi‑eixos a=\tfrac{1}{2}, b=1; interceptos x=\pm\tfrac{1}{2},\;y=\pm1.\n
k=2: 4x^{2}+y^{2}=2; elipse com semi‑eixos a=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}7071,\;b=\sqrt{2}\approx1{,}4142; interceptos x=\pm0{,}7071,\;y=\pm1{,}4142.\n
k=3: 4x^{2}+y^{2}=3; elipse com semi‑eixos a=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660,\;b=\sqrt{3}\approx1{,}7321; interceptos x=\pm0{,}8660,\;y=\pm1{,}7321.\n
k=4: 4x^{2}+y^{2}=4; elipse com semi‑eixos a=1,\;b=2; interceptos x=\pm1,\;y=\pm2.

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