Considerando as funções dadas a seguir, forneça, se possivel, e esboce as curvas de nível para
.
Passo 1
O enunciado pede que eu forneça e esboce as curvas de nível da função
para os valores de
.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- Dada a função
. - Para cada
devo determinar a curva de nível definida por e descrever/esboçar essa curva. - Não há figura fornecida pelo enunciado; vou derivar a forma das curvas e indicar como desenhá‑las.
Passo 2
O que é uma curva de nível (mini‑aula rápida):
Uma curva de nível para um valor fixo é o conjunto de pontos
que satisfazem
Uma curva de nível para um valor fixo
Intuitivamente, é a “linha” onde a função tem o mesmo valor
. Para a função dada, isso significa resolver
Antes de mais nada, note que
para todo
, logo curvas só existem quando
. Para
não haveria pontos.
Passo 3
Colocando a equação em forma canônica (transformação importante para identificar o tipo de curva): partimos de
Se
, dividimos ambos os lados por
para obter a forma padrão de uma elipse:
Reescrevendo em termos de quadrados de semi‑eixos, fica mais claro:
Comparando com a forma canônica da elipse
, identificamos
Portanto os semi‑eixos são
Observação: para todo
temos
, ou seja, a elipse é mais estendida ao longo do eixo
(eixo vertical).
Passo 4
Interceptos e vértices (como usar na hora de desenhar a elipse):
- Interceptos com o eixo
ocorrem em . Da equação obtemos
- Interceptos com o eixo
ocorrem em . Da equação obtemos
Esses quatro pontos
e
são os vértices da elipse e bastam para esboçar cada curva: basta desenhar uma elipse centrada na origem que passe por esses pontos.
Passo 5
Casos específicos
— vou determinar a equação simplificada, os semi‑eixos e os interceptos numéricos para cada um:
k = 0:
Isso só é satisfeito por
. É um ponto único (elipse degenerada).
k = 1:
Forma canônica:
Semi‑eixos:
Interceptos:
,
.
k = 2:
Forma canônica:
Semi‑eixos:
Interceptos:
,
(valores aproximados).
k = 3:
Forma canônica:
Semi‑eixos:
Interceptos:
,
(aprox.).
k = 4:
Forma canônica:
Semi‑eixos:
Interceptos:
,
.
Passo 6
Como esboçar (dicas práticas para a prova, passo a passo):
- Desenhe um sistema de eixos
e com a origem bem marcada. - Para cada
: - Marque os pontos
no eixo e no eixo . - Desenhe uma curva suave (elipse) passando por esses quatro pontos, centrada na origem. Lembre que a elipse é mais alongada verticalmente (porque
).
- Marque os pontos
- Faça isso para
. As elipses serão concêntricas (uma dentro da outra) aumentando de tamanho conforme cresce. Para desenhe apenas o ponto na origem. - Se quiser precisão, use os valores numéricos dados nos passos anteriores para posicionar cada intercepto.
Passo 7
Observações finais e dicas de memorização:
- Padrão recorrente: nível
→ elipse com semi‑eixos , . - Sempre verifique se
; caso contrário não há curva real. - Na hora da prova, desenhar os quatro vértices já dá um esboço confiável da elipse — não precisa calcular muitos pontos intermediários.