Considerando as funções dadas a seguir, forneça, se possivel, e esboce as curvas de nível para k= 0,1,2,3,4.
f(x, y)=1-x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede, para cada constante k\in\{0,1,2,3,4\}, que se forneça (quando possível) e se esboce a curva de nível da função dada. As informações fornecidas são:
f(x,y)=1-x^{2}-y^{2},
o domínio implícito é todo o plano \mathbb{R}^{2}, e os valores de k a analisar são k=0,\,1,\,2,\,3,\,4.
Não há outras figuras ou dados adicionais.

Passo 2

O que é uma curva de nível (aula rápida e prática): para uma função de duas variáveis f(x,y), a curva de nível associada a uma constante k é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=k.
Em outras palavras, fixamos o valor da função e olhamos a “contour line” (linha de mesmo valor) no plano. Nosso objetivo é resolver a equação f(x,y)=k para cada k pedido e interpretar geometricamente o conjunto de soluções.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso, escrevemos a equação da curva de nível:
1-x^{2}-y^{2}=k.
Vou isolar os termos quadráticos para reconhecer a forma geométrica:
x^{2}+y^{2}=1-k.
Essa é a forma padrão que lembra a equação de um círculo centrado na origem. Agora vamos entender o que significa o lado direito.

Passo 4

Interpretação da equação obtida: a equação
x^{2}+y^{2}=1-k
é equivalente à equação de um círculo centrado em (0,0) com raio
r=\sqrt{\,1-k\,},
desde que 1-k\ge 0. Se 1-k<0 então não existem pontos reais (x,y) que satisfaçam a equação, isto é, a curva de nível é o conjunto vazio. Se 1-k=0 então r=0 e a “curva” degenerou para o ponto (0,0).

Passo 5

Regra prática para testar um k:
  • Calcule 1-k.
  • Se 1-k>0 então a curva de nível é um círculo de raio r=\sqrt{1-k}.
  • Se 1-k=0 então a curva de nível é o ponto (0,0).
  • Se 1-k<0 então não há pontos reais (conjunto vazio).

Passo 6

Aplicando a regra aos valores pedidos:
Para k=0:
1-k=1-0=1>0,\quad r=\sqrt{1}=1.
Logo a curva de nível é o círculo centrado em (0,0) de raio 1, cuja equação é
x^{2}+y^{2}=1.
Para k=1:
1-k=1-1=0,\quad r=0.
Logo a curva de nível é o ponto (0,0), que vem da equação
x^{2}+y^{2}=0 \Longrightarrow x=0,\\ y=0.
Para k=2:
1-k=1-2=-1<0,
não existem pontos reais que satisfaçam a equação, então a curva de nível é o conjunto vazio.
Para k=3:
1-k=1-3=-2<0,
novamente conjunto vazio.
Para k=4:
1-k=1-4=-3<0,
novamente conjunto vazio.

Passo 7

Como esboçar as curvas (passo a passo para fazer rápido na prova, sem calculadora):
  • Desenhe eixos x e y.
  • Para k=0: trace um círculo centrado na origem com raio 1. Marque pontos notáveis (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1).
  • Para k=1: marque apenas o ponto na origem (0,0).
  • Para k=2,3,4: escreva ao lado “sem pontos reais” ou deixe em branco — não há curvas a desenhar.
    Observação intuitiva: conforme k aumenta, 1-k diminui; portanto os círculos encolhem e, a partir de k=1, desaparecem (vazio) na parte real.

Passo 8

Dica extra para fixar a ideia: se alguém te pedir k=-3 (fora do enunciado), calcule 1-(-3)=4 e então r=\sqrt{4}=2; a curva de nível seria um círculo de raio 2. Isso mostra que valores menores de k (mais negativos) dão círculos maiores.

Passo 9

Resumo final e motivação: você reconheceu a equação padrão de círculo rapidamente isolando os quadrados; esse tipo de exercício costuma cair muito na prova porque testa reconhecimento de formas geométricas e condições de existência. Tá indo bem — concentre-se em praticar reconhecimento similar em outras funções (por exemplo, elipses e hipérboles).

Resposta

k=0:\;x^{2}+y^{2}=1
k=1:\;x^{2}+y^{2}=0 (ponto (0,0))
k=2:\;\varnothing
k=3:\;\varnothing
k=4:\;\varnothing

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