Considerando as funções dadas a seguir, forneça, se possivel, e esboce as curvas de nível para
.
Passo 1
O enunciado pede, para cada constante
, que se forneça (quando possível) e se esboce a curva de nível da função dada. As informações fornecidas são:
o domínio implícito é todo o plano
, e os valores de
a analisar são
.
Não há outras figuras ou dados adicionais.
Não há outras figuras ou dados adicionais.
Passo 2
O que é uma curva de nível (aula rápida e prática): para uma função de duas variáveis
, a curva de nível associada a uma constante
é o conjunto de pontos
tais que
Em outras palavras, fixamos o valor da função e olhamos a “contour line” (linha de mesmo valor) no plano. Nosso objetivo é resolver a equação
para cada
pedido e interpretar geometricamente o conjunto de soluções.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso, escrevemos a equação da curva de nível:
Vou isolar os termos quadráticos para reconhecer a forma geométrica:
Essa é a forma padrão que lembra a equação de um círculo centrado na origem. Agora vamos entender o que significa o lado direito.
Passo 4
Interpretação da equação obtida: a equação
é equivalente à equação de um círculo centrado em
com raio
desde que
. Se
então não existem pontos reais
que satisfaçam a equação, isto é, a curva de nível é o conjunto vazio. Se
então
e a “curva” degenerou para o ponto
.
Passo 5
Regra prática para testar um
:
- Calcule
. - Se
então a curva de nível é um círculo de raio . - Se
então a curva de nível é o ponto . - Se
então não há pontos reais (conjunto vazio).
Passo 6
Aplicando a regra aos valores pedidos:
Para
:
Logo a curva de nível é o círculo centrado em
de raio
, cuja equação é
Para
:
Logo a curva de nível é o ponto
, que vem da equação
Para
:
não existem pontos reais que satisfaçam a equação, então a curva de nível é o conjunto vazio.
Para
:
novamente conjunto vazio.
Para
:
novamente conjunto vazio.
Passo 7
Como esboçar as curvas (passo a passo para fazer rápido na prova, sem calculadora):
- Desenhe eixos
e . - Para
: trace um círculo centrado na origem com raio . Marque pontos notáveis , , , . - Para
: marque apenas o ponto na origem . - Para
: escreva ao lado “sem pontos reais” ou deixe em branco — não há curvas a desenhar.
Observação intuitiva: conformeaumenta, diminui; portanto os círculos encolhem e, a partir de , desaparecem (vazio) na parte real.
Passo 8
Dica extra para fixar a ideia: se alguém te pedir
(fora do enunciado), calcule
e então
; a curva de nível seria um círculo de raio
. Isso mostra que valores menores de
(mais negativos) dão círculos maiores.
Passo 9
Resumo final e motivação: você reconheceu a equação padrão de círculo rapidamente isolando os quadrados; esse tipo de exercício costuma cair muito na prova porque testa reconhecimento de formas geométricas e condições de existência. Tá indo bem — concentre-se em praticar reconhecimento similar em outras funções (por exemplo, elipses e hipérboles).