obtenha o maior subconjunto do
Passo 1
O enunciado define a função
Queremos encontrar o maior subconjunto de
é contínua. O conteúdo envolvido é continuidade de funções definidas por partes e prova de continuidade em fronteiras via cálculo de limites.
Passo 2
Em cada uma das regiões abertas
e
,
é composição de funções elementares (exponencial e quociente) sem denominador nulo, logo
é contínua nessas duas regiões.
Passo 3
Resta verificar a continuidade na fronteira
, onde
foi definido como
. Basta mostrar que
Use coordenadas polares:
. Para
, escreva
. Então
Quando
, temos
, e o termo
tende a
(o exponencial decai mais rápido que qualquer potência). Logo
Para
,
identicamente, então
Como ambos os limites laterais dão
, coincide com o valor de
na fronteira.
Passo 4
Concluímos que
é contínua em cada região interior e também em todo ponto da curva
. Portanto,
é contínua em todo
.