obtenha o maior subconjunto do \mathbb{R}^{2}\) ou \(\mathbb{R}^{3}\), no qual a função é contínua. \(f(x, y)= \begin{cases}\frac{e^{\frac{1}{x^{2}+y^{2}-2}}}{x^{2}+y^{2}-2} ; & x^{2}+y^{2}<2 \\\\ 0 & x^{2}+y^{2} \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) por partes, com \[f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{e^{\frac{1}{x^{2}+y^{2}-2}}}{x^{2}+y^{2}-2},&x^{2}+y^{2}<2,\\\\ 0,&x^{2}+y^{2}\ge2. \end{cases}
Queremos encontrar o maior subconjunto de \mathbb{R}^2\] onde \(f é contínua. O conteúdo envolvido é continuidade de funções definidas por partes e prova de continuidade em fronteiras via cálculo de limites.

Passo 2

Em cada uma das regiões abertas \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<2\} e \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}>2\}, f é composição de funções elementares (exponencial e quociente) sem denominador nulo, logo f é contínua nessas duas regiões.

Passo 3

Resta verificar a continuidade na fronteira x^{2}+y^{2}=2, onde f(x,y) foi definido como 0. Basta mostrar que
\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0),\,x_0^2+y_0^2=2}f(x,y)=0.
Use coordenadas polares: r^2=x^2+y^2. Para r<\sqrt2, escreva t=2-r^2>0. Então
f(r)=\frac{e^{\frac{1}{r^2-2}}}{r^2-2} =\frac{e^{-\frac{1}{t}}}{-\,t} =-\frac{1}{t}\,e^{-\frac{1}{t}}.
Quando r\to\sqrt2^-, temos t\to0^+, e o termo \frac{1}{t}e^{-1/t} tende a 0 (o exponencial decai mais rápido que qualquer potência). Logo
\lim_{r\to\sqrt2^-}f(r)=0.
Para r>\sqrt2, f(r)=0 identicamente, então
\lim_{r\to\sqrt2^+}f(r)=0.
Como ambos os limites laterais dão 0, coincide com o valor de f na fronteira.

Passo 4

Concluímos que f é contínua em cada região interior e também em todo ponto da curva x^2+y^2=2. Portanto, f é contínua em todo \mathbb{R}^2.

Resposta

\mathbb{R}^2

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