A função f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}, onde x \in[-1,1], possui máximo e mínimo neste intervalo? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede os extremos de f(x)=\frac{x}{1+x^{2}} em [-1,1]. Como f é contínua num intervalo fechado, pelo Teorema de Weierstrass ela atinge máximo e mínimo. Para encontrá-los, vamos achar pontos críticos via derivada e depois comparar valores nos pontos relevantes.

Passo 2

Calcular a derivada de f:
f'(x) = \frac{(1+x^{2}) - x\cdot 2x}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.
Os pontos críticos satisfazem f'(x)=0, ou seja,
1 - x^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 1.
Esses valores coincidem com as fronteiras do intervalo.

Passo 3

Analisar o sinal de f'(x) para -1 < x < 1:
se |x|<1 então 1 - x^{2} > 0 e o denominador (1+x^{2})^{2} é sempre positivo. Logo
f'(x) > 0 \quad\text{em}\;-1<x<1,
ou seja, f é estritamente crescente em todo o intervalo.

Passo 4

Como f é crescente, o menor valor ocorre em x=-1 e o maior em x=1. Calculando:
f(-1) = \frac{-1}{1+(-1)^{2}} = -\frac12,
f(1) = \frac{1}{1+1^{2}} = \frac12.

Resposta

O mínimo de f em [-1,1] é -\tfrac12 em x=-1 e o máximo é \tfrac12 em x=1.

Exercícios relacionados