) Suponha que um projétil arremessado horizontalmente atinja o alvo 9 segundos após ser lançado. Se f(t)=200 t-5 t^{2}-\frac{t^{3}}{3} representa a distância em metros percorrida horizontalmente pelo projétil em t segundos, onde t \in[0,9] e t=0 corresponde o instante do lançamento, determine (em relação ao deslocamento horizontal):
a.) A velocidade média do projétil, desde o lançamento até atingir o alvo;
b.) A velocidade do projétil no instante do lançamento;
c.) A velocidade do projétil no instante \mathrm{t}=5 \mathrm{seg};
d.) A aceleração média do projétil desde o lançamento até atingir o alvo.
e.) A aceleração do projétil no instante t=6 seg.

Passo 1

O enunciado dá o deslocamento horizontal de um projétil em função do tempo
f(t) = 200\,t \;-\; 5\,t^{2} \;-\;\frac{t^{3}}{3},
para t\in[0,9]. Ele pede
a) a velocidade média de 0 a 9;
b) a velocidade instantânea em t=0;
c) a velocidade instantânea em t=5;
d) a aceleração média de 0 a 9;
e) a aceleração instantânea em t=6.
Para resolver vamos usar:
– Velocidade média: \bigl[f(9)-f(0)\bigr]/(9-0).
– Velocidade instantânea: derivada f'(t).
– Aceleração média: \bigl[v(9)-v(0)\bigr]/(9-0).
– Aceleração instantânea: segunda derivada f''(t).

Passo 2

Calculamos primeiro a velocidade média de t=0 a t=9 usando
v_{\text{média}} = \frac{f(9) - f(0)}{9 - 0}.é
Temos
f(9) = 200\cdot 9 \;-\;5\cdot 9^{2}\;-\;\frac{9^{3}}{3} =1800 -405 -243 =1152
e
f(0)=0.
Logo
v_{\text{média}} = \frac{1152 - 0}{9} =128\\ \text{m/s}.é

Passo 3

Para a velocidade instantânea derivamos f(t):
f'(t) = 200 \;-\;10\,t \;-\;t^{2}.
No instante t=0
v(0) = f'(0) = 200 - 0 - 0 =200\\ \text{m/s}.

Passo 4

No instante t=5 usamos a mesma f'(t):
v(5) = f'(5) = 200 -10\cdot 5 -5^{2} =200 -50 -25 =125\\ \text{m/s}.

Passo 5

A aceleração média de 0 a 9 é
a_{\text{média}} = \frac{v(9) - v(0)}{9 - 0}.é
Calculamos
v(9) = f'(9) = 200 -10\cdot9 -9^{2} =200 -90 -81 =29\\ \text{m/s},
e v(0)=200. Então
a_{\text{média}} = \frac{29 - 200}{9} = -\frac{171}{9} = -19\\ \text{m/s}^{2}.é

Passo 6

Para a aceleração instantânea derivamos f'(t):
f''(t) = -10 -2\,t.
No instante t=6
a(6) = f''(6) = -10 -2\cdot6 = -10 -12 = -22\\ \text{m/s}^{2}.

Resposta

a) 128\\ \text{m/s}
b) 200\\ \text{m/s}
c) 125\\ \text{m/s}
d) -19\\ \text{m/s}^{2}
e) -22\\ \text{m/s}^{2}

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