Uma função f(x, y) é homogênea de grau n se f(t x, t y)=t^{n} f(x, y). Nos casos abaixo, verifique se a função dada é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
f(x, y)=\sqrt{x^{4}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x,y)=\sqrt{x^{4}+y^{4}} é homogênea. Em caso afirmativo, determinar o grau de homogeneidade n.
Informações dadas: a função explícita f(x,y)=\sqrt{x^{4}+y^{4}}. Não há outras restrições no enunciado sobre x,y ou sobre t.

Passo 2

Lembrete do que significa ser homogênea: uma função f(x,y) é homogênea de grau n se, para todo escalar t (quando a operação faz sentido), vale
f(t x,t y)=t^{n}f(x,y).
Aqui a estratégia prática na prova é sempre a mesma: substituir (x,y) por (t x,t y), simplificar a expressão e ver se ela fica igual a uma potência de t multiplicando f(x,y). Se sim, o expoente dessa potência é o grau n.

Passo 3

Aplicar a substituição x\mapsto t x e y\mapsto t y na função dada:
f(t x,t y)=\sqrt{(t x)^{4}+(t y)^{4}}.

Passo 4

Desenvolver as potências dentro da raiz, lembrando que (t x)^{4}=t^{4}x^{4} e (t y)^{4}=t^{4}y^{4}:
f(t x,t y)=\sqrt{t^{4}x^{4}+t^{4}y^{4}}.

Passo 5

Fatorar t^{4} dentro da raiz:
f(t x,t y)=\sqrt{t^{4}\bigl(x^{4}+y^{4}\bigr)}.

Passo 6

Usar a propriedade da raiz quadrada \sqrt{a b}=\sqrt{a}\sqrt{b} quando a,b\ge0. Aqui t^{4}\ge0 para todo t\in\mathbb{R}, logo
f(t x,t y)=\sqrt{t^{4}}\;\sqrt{x^{4}+y^{4}}.
Observação sobre \sqrt{t^{4}}: como t^{4}=(t^{2})^{2} e t^{2}\ge0, temos \sqrt{t^{4}}=t^{2}. Portanto
f(t x,t y)=t^{2}\sqrt{x^{4}+y^{4}}.

Passo 7

Comparando com a definição de homogeneidade f(t x,t y)=t^{n}f(x,y), vemos que o fator em t é t^{2} e que \sqrt{x^{4}+y^{4}}=f(x,y). Assim
f(t x,t y)=t^{2}f(x,y),
portanto a função é homogênea e o grau de homogeneidade é n=2.

Passo 8

Comentário didático rápido e dica de prova: aqui dentro da raiz havia soma de termos de grau 4 ( x^{4} e y^{4}); a raiz quadrada equivale a tomar potência 1/2, então o grau resultante é 4\times\frac{1}{2}=2. Em geral, se tiver soma de termos homogêneos de grau k e depois aplicar uma operação que eleva tudo a potência m (por exemplo raiz de ordem 1/m ), o grau final será k\cdot m. Um exemplo extra: \sqrt{x^{2}+y^{2}} tem grau 1 porque 2\times\frac{1}{2}=1.

Resposta

Sim, homogênea de grau 2.

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