Uma função
é homogênea de grau
se
. Nos casos abaixo, verifique se a função dada é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é homogênea. Em caso afirmativo, determinar o grau de homogeneidade
.
Informações dadas: a função explícita . Não há outras restrições no enunciado sobre
ou sobre
.
Informações dadas: a função explícita
Passo 2
Lembrete do que significa ser homogênea: uma função
é homogênea de grau
se, para todo escalar
(quando a operação faz sentido), vale
Aqui a estratégia prática na prova é sempre a mesma: substituir
por
, simplificar a expressão e ver se ela fica igual a uma potência de
multiplicando
. Se sim, o expoente dessa potência é o grau
.
Passo 3
Aplicar a substituição
e
na função dada:
Passo 4
Desenvolver as potências dentro da raiz, lembrando que
e
:
Passo 5
Fatorar
dentro da raiz:
Passo 6
Usar a propriedade da raiz quadrada
quando
. Aqui
para todo
, logo
Observação sobre
: como
e
, temos
. Portanto
Passo 7
Comparando com a definição de homogeneidade
, vemos que o fator em
é
e que
. Assim
portanto a função é homogênea e o grau de homogeneidade é
.
Passo 8
Comentário didático rápido e dica de prova: aqui dentro da raiz havia soma de termos de grau
(
e
); a raiz quadrada equivale a tomar potência
, então o grau resultante é
. Em geral, se tiver soma de termos homogêneos de grau
e depois aplicar uma operação que eleva tudo a potência
(por exemplo raiz de ordem
), o grau final será
. Um exemplo extra:
tem grau
porque
.
Resposta
Sim, homogênea de grau
.