[5,0 pontos]
Passo 1
O enunciado pede estimar o volume do sólido que está abaixo da superfície
e acima do retângulo
. Dados fornecidos:
- Região:
. - Função de altura:
. - Partição:
(dividir o intervalo em em subintervalos e em em subintervalos). - Pontos de amostragem: cantos inferiores esquerdos de cada subretângulo.
A tarefa é usar a soma de Riemann com essas escolhas para estimar o volume.
Passo 2
Calcular os tamanhos dos subintervalos em
e
. Para uma partição regular:
Aqui
,
,
,
,
. Então:
A área de cada subretângulo é
(Interpretação: cada termo da soma de Riemann será
no ponto de amostragem multiplicado por
.)
Passo 3
Determinar os pontos de amostragem (cantinhos inferiores esquerdos). As divisões em
são os intervalos
e
. As divisões em
são
e
. Logo os cantos inferiores esquerdos de cada subretângulo são os pontos:
Passo 4
Avaliar
em cada ponto de amostragem, detalhadamente:
- Em
:
- Em
: , então
- Em
:
- Em
:
Passo 5
Escrever a soma de Riemann dupla. A fórmula geral aproximada é
onde
são os pontos de amostragem. Substituindo os valores que encontramos:
Somando:
Multiplicando pela área de cada bloco
:
Comentário didático curto: como
cresce com
(pela
) e cresce com
(coeficiente positivo
), escolher o canto inferior esquerdo em cada subretângulo dá o valor mínimo dentro daquele bloco; portanto esta soma de Riemann é uma subestimativa do volume verdadeiro.