[5,0 pontos]
[2,5\) pontos \(]\) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície \(z=1+x^{2}+3 y\) e acima do retângulo \(R=[1,2] \times[0,3]\). Use a soma de Riemann com \(m=n=2\) e escolha os pontos de amostragem como os cantos inferiores esquerdos.

Passo 1

O enunciado pede estimar o volume do sólido que está abaixo da superfície z=1+x^{2}+3y e acima do retângulo R=[1,2]\times[0,3]. Dados fornecidos:
  • Região: R=[1,2]\times[0,3].
  • Função de altura: f(x,y)=1+x^{2}+3y.
  • Partição: m=n=2 (dividir o intervalo em x em m=2 subintervalos e em y em n=2 subintervalos).
  • Pontos de amostragem: cantos inferiores esquerdos de cada subretângulo.
    A tarefa é usar a soma de Riemann com essas escolhas para estimar o volume.

Passo 2

Calcular os tamanhos dos subintervalos em x e y. Para uma partição regular:
\Delta x=\frac{x_{\text{max}}-x_{\text{min}}}{m},\qquad \Delta y=\frac{y_{\text{max}}-y_{\text{min}}}{n}.
Aqui x_{\text{min}}=1, x_{\text{max}}=2, y_{\text{min}}=0, y_{\text{max}}=3, m=n=2. Então:
\Delta x=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}=0{,}5, \qquad \Delta y=\frac{3-0}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5.
A área de cada subretângulo é
\Delta A=\Delta x\,\Delta y=0{,}5\cdot 1{,}5=0{,}75.
(Interpretação: cada termo da soma de Riemann será f no ponto de amostragem multiplicado por \Delta A.)

Passo 3

Determinar os pontos de amostragem (cantinhos inferiores esquerdos). As divisões em x são os intervalos [1,1{,}5] e [1{,}5,2]. As divisões em y são [0,1{,}5] e [1{,}5,3]. Logo os cantos inferiores esquerdos de cada subretângulo são os pontos:
(1,0),\quad (1{,}5,0),\quad (1,1{,}5),\quad (1{,}5,1{,}5).

Passo 4

Avaliar f(x,y)=1+x^{2}+3y em cada ponto de amostragem, detalhadamente:
  • Em (1,0):
f(1,0)=1+1^{2}+3\cdot 0=1+1+0=2.
  • Em (1{,}5,0): 1{,}5^{2}=2{,}25, então
f(1{,}5,0)=1+2{,}25+3\cdot 0=3{,}25.
  • Em (1,1{,}5):
f(1,1{,}5)=1+1^{2}+3\cdot 1{,}5=1+1+4{,}5=6{,}5.
  • Em (1{,}5,1{,}5):
f(1{,}5,1{,}5)=1+2{,}25+4{,}5=7{,}75.

Passo 5

Escrever a soma de Riemann dupla. A fórmula geral aproximada é
\iint_{R} f(x,y)\,dA \approx \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})\,\Delta A,
onde (x_{ij}^{*},y_{ij}^{*}) são os pontos de amostragem. Substituindo os valores que encontramos:
\text{Soma} = \bigl(2\bigr)+\bigl(3{,}25\bigr)+\bigl(6{,}5\bigr)+\bigl(7{,}75\bigr).
Somando:
2+3{,}25=5{,}25,\qquad 5{,}25+6{,}5=11{,}75,\qquad 11{,}75+7{,}75=19{,}5.
Multiplicando pela área de cada bloco \Delta A=0{,}75:
\text{Volume aproximado}=19{,}5\cdot 0{,}75=14{,}625.
Comentário didático curto: como f cresce com x (pela x^{2}) e cresce com y (coeficiente positivo 3), escolher o canto inferior esquerdo em cada subretângulo dá o valor mínimo dentro daquele bloco; portanto esta soma de Riemann é uma subestimativa do volume verdadeiro.

Resposta

14{,}625

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