[5,0 pontos ] Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x+2 y+z=2, x=2 y, x=0 e z=0.

Passo 1

O problema pede o volume do tetraedro limitado pelos planos:
  • x+2y+z=2,
  • x=2y,
  • x=0,
  • z=0.
Informações relevantes dadas (explicitadas):
  • São quatro planos que interceptam o espaço tridimensional e formam um tetraedro fechado.
  • A fronteira inferior do tetraedro é o plano \,z=0.
  • A fronteira superior é o plano \,z=2-x-2y (obtida de x+2y+z=2).
  • As outras duas faces verticais são x=0 e x=2y.
O que o enunciado pede: calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática, sem pular etapas).
Uma maneira direta de obter volumes quando existe uma superfície superior z=z_{\text{top}}(x,y) e uma inferior z=z_{\text{bot}}(x,y) é usar integral dupla sobre a projeção R no plano xy:
V=\iint_{R} \bigl(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\bigr)\,dA.
Aqui cada ponto (x,y)\in R contribui com a altura vertical z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}. No nosso caso z_{\text{bot}}=0 e z_{\text{top}}=2-x-2y, logo
V=\iint_{R} (2-x-2y)\,dA.
Ou seja, o problema reduz-se a determinar a região R no plano xy (a “base” do tetraedro) e calcular essa integral dupla.

Passo 3

Determinar a região R — interseção com z=0.
Ao colocar z=0 na equação do plano superior, obtemos a reta
x+2y=2.
As outras duas restrições na projeção são x=0 e x=2y. Portanto R é o triângulo do plano xy limitado por as três retas x=0, x=2y e x+2y=2.
Vamos encontrar os vértices desse triângulo fazendo as interseções par a par:
  1. Interseção de x=0 com x=2y: colocar x=0 em x=2y 0=2y\Rightarrow y=0. Vértice: (0,0).
  2. Interseção de x=0 com x+2y=2: colocar x=0 2y=2\Rightarrow y=1. Vértice: (0,1).
  3. Interseção de x=2y com x+2y=2: substituir x=2y em x+2y=2 2y+2y=2\Rightarrow 4y=2\Rightarrow y=\tfrac{1}{2}. Então x=2y=1. Vértice: (1,\tfrac{1}{2}).
Assim os vértices do triângulo R são (0,0), (0,1) e (1,\tfrac{1}{2}).

Passo 4

Descrever R para estabelecer limites de integração.
O triângulo tem uma aresta vertical em x=0 de y=0 até y=1. A aresta inferior é a reta x=2y que liga (0,0) a (1,\tfrac{1}{2}). A aresta superior (diagonal) é x=2-2y (obtida de x+2y=2) que liga (0,1) a (1,\tfrac{1}{2}).
Para montar integrais horizontais (integrar em x primeiro, depois em y) é conveniente notar que o triângulo precisa ser dividido em duas faixas horizontais:
  • Para 0\le y\le \tfrac{1}{2}: o segmento horizontal atravessa as arestas x=0 (à esquerda) e x=2y (à direita). Logo x varia de 0 a 2y.
  • Para \tfrac{1}{2}\le y\le 1: o segmento horizontal atravessa x=0 (à esquerda) e x=2-2y (à direita). Logo x varia de 0 a 2-2y.
Portanto a integral dupla sobre R será escrita como a soma de duas integrais em y com limites em x conforme acima.

Passo 5

Escrever explicitamente a integral de volume.
Usando o que foi dito:
V=\iint_{R} (2-x-2y)\,dA = \int_{y=0}^{1/2}\!\!\int_{x=0}^{2y} (2-x-2y)\,dx\,dy + \int_{y=1/2}^{1}\!\!\int_{x=0}^{2-2y} (2-x-2y)\,dx\,dy.
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais passo a passo.

Passo 6

Calcular a primeira integral ( 0\le y\le \tfrac{1}{2}).
Calcule a integral interna em x:
\int_{x=0}^{2y} (2-x-2y)\,dx = \Bigl[2x-\frac{x^{2}}{2}-2yx\Bigr]_{0}^{2y}.
Avaliar nos limites 0 e 2y:
2(2y)-\frac{(2y)^{2}}{2}-2y(2y) =4y-\frac{4y^{2}}{2}-4y^{2} =4y-2y^{2}-4y^{2} =4y-6y^{2}.
Agora integrar em y de 0 a \tfrac{1}{2}:
\int_{0}^{1/2} (4y-6y^{2})\,dy = \Bigl[2y^{2}-2y^{3}\Bigr]_{0}^{1/2}.
Avaliar em y=\tfrac{1}{2}:
2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3} =2\cdot\tfrac{1}{4}-2\cdot\tfrac{1}{8} =\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4} =\tfrac{1}{4}.
Portanto a primeira parte contribui com \tfrac{1}{4}.

Passo 7

Calcular a segunda integral ( \tfrac{1}{2}\le y\le 1).
Integral interna em x:
\int_{x=0}^{2-2y} (2-x-2y)\,dx = \Bigl[2x-\frac{x^{2}}{2}-2yx\Bigr]_{0}^{2-2y}.
Avaliar em x=2-2y. Primeiro calcule (2-2y)^{2}=4(1-y)^{2}=4-8y+4y^{2}. Então
\begin{align*} &2(2-2y)-\frac{(2-2y)^{2}}{2}-2y(2-2y) \\ &\quad=4-4y-\frac{4-8y+4y^{2}}{2}-4y+4y^{2} \\ &\quad=4-4y-(2-4y+2y^{2})-4y+4y^{2} \\ &\quad= (4-2) +(-4y+4y-4y) +(-2y^{2}+4y^{2}) \\ &\quad=2-4y+2y^{2}. \end{align*}
Portanto a integral interna é 2-4y+2y^{2}.
Agora integrar em y de \tfrac{1}{2} a 1:
\int_{1/2}^{1} (2-4y+2y^{2})\,dy = \Bigl[2y-2y^{2}+\tfrac{2}{3}y^{3}\Bigr]_{1/2}^{1}.
Avaliar em y=1:
2-2+\tfrac{2}{3}=\tfrac{2}{3}.
Avaliar em y=\tfrac{1}{2}:
2\cdot\tfrac{1}{2}-2\cdot\tfrac{1}{4}+\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{8} =1-\tfrac{1}{2}+\tfrac{2}{24} =\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{12} =\tfrac{7}{12}.
Diferença:
\tfrac{2}{3}-\tfrac{7}{12}=\tfrac{8}{12}-\tfrac{7}{12}=\tfrac{1}{12}.
Portanto a segunda parte contribui com \tfrac{1}{12}.

Passo 8

Somar as contribuições e simplificar.
Volume total
V=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{12}=\tfrac{3}{12}+\tfrac{1}{12}=\tfrac{4}{12}=\tfrac{1}{3}.
Fizemos a integral em duas faixas porque a projeção R no plano xy tem duas formas de limite em x dependendo de y; esse cuidado evita erros ao montar os limites.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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