pontos
Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos
,
,
e
.
Passo 1
O problema pede o volume do tetraedro limitado pelos planos:
-
, -
, -
, -
.
Informações relevantes dadas (explicitadas):
- São quatro planos que interceptam o espaço tridimensional e formam um tetraedro fechado.
- A fronteira inferior do tetraedro é o plano
. - A fronteira superior é o plano
(obtida de ). - As outras duas faces verticais são
e .
O que o enunciado pede: calcular o volume desse sólido.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática, sem pular etapas).
Uma maneira direta de obter volumes quando existe uma superfície superior
e uma inferior
é usar integral dupla sobre a projeção
no plano
:
Aqui cada ponto
contribui com a altura vertical
. No nosso caso
e
, logo
Ou seja, o problema reduz-se a determinar a região
no plano
(a “base” do tetraedro) e calcular essa integral dupla.
Passo 3
Determinar a região
— interseção com
.
Ao colocar
na equação do plano superior, obtemos a reta
As outras duas restrições na projeção são
e
. Portanto
é o triângulo do plano
limitado por as três retas
,
e
.
Vamos encontrar os vértices desse triângulo fazendo as interseções par a par:
-
Interseção de
com : colocar em dá . Vértice: . -
Interseção de
com : colocar dá . Vértice: . -
Interseção de
com : substituir em dá . Então . Vértice: .
Assim os vértices do triângulo
são
,
e
.
Passo 4
Descrever
para estabelecer limites de integração.
O triângulo tem uma aresta vertical em
de
até
. A aresta inferior é a reta
que liga
a
. A aresta superior (diagonal) é
(obtida de
) que liga
a
.
Para montar integrais horizontais (integrar em
primeiro, depois em
) é conveniente notar que o triângulo precisa ser dividido em duas faixas horizontais:
- Para
: o segmento horizontal atravessa as arestas (à esquerda) e (à direita). Logo varia de a . - Para
: o segmento horizontal atravessa (à esquerda) e (à direita). Logo varia de a .
Portanto a integral dupla sobre
será escrita como a soma de duas integrais em
com limites em
conforme acima.
Passo 5
Escrever explicitamente a integral de volume.
Usando o que foi dito:
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais passo a passo.
Passo 6
Calcular a primeira integral (
).
Calcule a integral interna em
:
Avaliar nos limites
e
:
Agora integrar em
de
a
:
Avaliar em
:
Portanto a primeira parte contribui com
.
Passo 7
Calcular a segunda integral (
).
Integral interna em
:
Avaliar em
. Primeiro calcule
. Então
Portanto a integral interna é .
Portanto a integral interna é
Agora integrar em
de
a
:
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Diferença:
Portanto a segunda parte contribui com
.
Passo 8
Somar as contribuições e simplificar.
Volume total
Fizemos a integral em duas faixas porque a projeção
no plano
tem duas formas de limite em
dependendo de
; esse cuidado evita erros ao montar os limites.