Para a função f(x, y)=raizx^2-2 y^2-4
Determine o domínio da função e desenhe a região no plano xy correspondente.

Passo 1

A função é f(x,y)=raizx^2-2y^2-4. O conteúdo aqui é domínio de função de duas variáveis com raiz quadrada, então precisamos garantir que o radicando x^2-2y^2-4 seja maior ou igual a zero.

Passo 2

Impondo a condição de não negatividade do radicando, temos
x^2-2y^2-4>=0
que se rearranja para
x^2-2y^2>=4.

Passo 3

Para identificar a curva associada, dividimos ambos os lados por 4, obtendo a forma padrão de uma hipérbola:
x^24-y^22>=1.
Isso mostra que a fronteira do domínio é a hipérbola tfracx^24-tfracy^22=1, com vértices em (pm2,0) e assíntotas y=pmtfracxraiz2.

Passo 4

O domínio é a região do plano onde a desigualdade tfracx^24-tfracy^22>=1 vale. Graficamente, é a parte “fora” dos dois ramos da hipérbola, incluindo a própria curva. Para desenhar, basta traçar a hipérbola e sombrear as regiões nos lados esquerdo e direito, onde x^2-2y^2>=4.

Resposta

O domínio é
D=(x,y)in R^2:;x^2-2y^2-4>=0
ou, equivalentemente,
D=(x,y)in R^2:;tfracx^24-tfracy^22>=1,
a região externa (e incluindo) à hipérbola tfracx^24-tfracy^22=1 no plano xy.

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