Determine e classifique os pontos críticos da função f.
f(x, y)=x^2+2 y^2-2 x-4 y+1.

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^2+2y^2-2x-4y+1. O que a gente quer: encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero) e depois classificar cada ponto pelo critério da Hessiana.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero. Derivando em relação a x:
partial fpartial x=2x-2
Derivando em relação a y:
partial fpartial y=4y-4

Passo 3

Agora resolvemos o sistema
2x-2=0,4y-4=0
Da primeira equação vem x=1 e da segunda y=1. Logo, o único ponto crítico é (1,1).

Passo 4

Para classificar esse ponto, montamos a matriz Hessiana, que reúne as segundas derivadas:
Hf(x,y)=fxx&fxyfyx&fyy
Aqui temos
fxx=2, fyy=4, fxy=fyx=0
Então
Hf=2&00&4

Passo 5

O critério da Hessiana para duas variáveis diz que, se det(Hf)>0 e fxx>0, então o ponto é mínimo local. Calculando:
det(Hf)=2cdot4-0cdot0=8>0
e fxx=2>0. Logo a Hessiana é definida positiva.

Passo 6

Conclusão: o ponto crítico (1,1) é um ponto de mínimo. Como f é um polinômio quadrático com Hessiana sempre definida positiva, este é na verdade o mínimo global.

Resposta

O único ponto crítico é (1,1), e ele é um ponto de mínimo (global).

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