Determine e classifique os pontos críticos da função
.
.
Passo 1
Temos a função
. O que a gente quer: encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero) e depois classificar cada ponto pelo critério da Hessiana.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero. Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
Da primeira equação vem
Passo 4
Para classificar esse ponto, montamos a matriz Hessiana, que reúne as segundas derivadas:
Aqui temos
Então
Passo 5
O critério da Hessiana para duas variáveis diz que, se
e
, então o ponto é mínimo local. Calculando:
e
Passo 6
Conclusão: o ponto crítico
é um ponto de mínimo. Como
é um polinômio quadrático com Hessiana sempre definida positiva, este é na verdade o mínimo global.
Resposta
O único ponto crítico é (1,1), e ele é um ponto de mínimo (global).