Considere a função f(x, y)=xx^2+y^2+1 e o ponto P0(1,1).
Determine a direção de variação nula da função a partir do ponto P0.

Passo 1

Temos a função f(x,y)=xx^2+y^2+1 e o ponto P0(1,1). Queremos achar uma direção u para a qual a derivada direcional de f em P0 seja zero, ou seja, nabla f(P0)cdotu=0.

Passo 2

O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais. Vamos calcular:
partial fpartial x =(x^2+y^2+1)-2x^2(x^2+y^2+1)^2 =-x^2+y^2+1(x^2+y^2+1)^2,
partial fpartial y =-2xy(x^2+y^2+1)^2

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P0(1,1). Como x^2+y^2+1=3, temos
partial fpartial x(1,1)=-1+1+13^2=19,
partial fpartial y(1,1)=-2cdot1cdot13^2=-29
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Passo 4

Procuramos u=(u1,u2) tal que
nabla f(P0)cdotu=tfrac19u1-tfrac29u2=0
que simplifica para
u1-2u2=0Longrightarrow u1=2u2
Portanto, qualquer múltiplo de (2,1) é direção de variação nula.

Passo 5

Para ter uma direção unitária, normalizamos (2,1). O comprimento de (2,1) é raiz2^2+1^2=raiz5. Assim,
u=l(tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r)
é um vetor unitário ortogonal a nabla f(P0), e por isso anula a derivada direcional. Você também pode usar o oposto l(-tfrac2raiz5,-tfrac1raiz5r).

Resposta

A direção de variação nula em P0 é dada pelo vetor unitário l(tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r) (ou seu oposto).

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