Uma função z=f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace
\frac{\partial^{2} z}{\partial x_{1}{ }^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial x_{2}{ }^{2}}+\ldots+\frac{\partial^{2} z}{\partial x_{n}{ }^{2}}=0
Verifique se as funções a seguir são funções harmônicas:
z=f(x, y)=y^{3}+3 x^{2} y

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle z=f(x,y)=y^{3}+3x^{2}y e pede para verificar se essa função é harmônica.
Informações relevantes fornecidas:
\text{função: }\; z(x,y)=y^{3}+3x^{2}y.çã
\text{condição a verificar: }\; \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0.çã

Passo 2

O que significa ser harmônica (de maneira bem direta e prática para a prova): uma função de duas variáveis é harmônica em uma região se for duas vezes diferenciável e se a soma das segundas derivadas parciais em relação a x e a y (o chamado Laplaciano) for zero em todos os pontos dessa região. Em notação, o operador Laplaciano em 2D é
\Delta z=\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}.
Para verificar, então, basta calcular \partial^2 z/\partial x^2 e \partial^2 z/\partial y^2 e somá-las. Lembre-se: derivada parcial em x significa derivar tratando y como constante; derivada parcial em y significa derivar tratando x como constante.

Passo 3

Calcule a primeira derivada parcial em relação a x. Tratando y como constante:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3}\bigr)=0,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y\bigr)=3y\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=3y\cdot 2x=6xy.
Logo,
\frac{\partial z}{\partial x}=6xy.

Passo 4

Calcule a segunda derivada parcial em relação a x derivando \partial z/\partial x em x (ainda tratando y como constante):
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6xy\bigr)=6y.
Aqui usei que a derivada de 6x em relação a x é 6, e o fator y é constante.

Passo 5

Calcule a primeira derivada parcial em relação a y. Tratando x como constante:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2},
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y\bigr)=3x^{2}\cdot\frac{d}{dy}(y)=3x^{2}.
Portanto,
\frac{\partial z}{\partial y}=3y^{2}+3x^{2}.

Passo 6

Calcule a segunda derivada parcial em relação a y derivando \partial z/\partial y em y:
\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^{2}+3x^{2}\bigr)=6y+0=6y.
O termo 3x^{2} desaparece porque é constante em relação a y.

Passo 7

Some as segundas derivadas para obter o Laplaciano:
\Delta z=\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=6y+6y=12y.
A condição para ser harmônica é \Delta z=0 para todos os pontos do domínio. Aqui obtivemos \Delta z=12y, que só é zero quando y=0. Logo, em geral \Delta z\neq 0.

Passo 8

Conclusão prática para a prova e dica: a função não é harmônica no plano inteiro, porque o Laplaciano deu \,12y e isso não é identicamente zero. Apenas ao longo da reta \,y=0 temos \Delta z=0, ou seja, a função é harmônica somente nessa reta. Dica para a prova: sempre calcule as derivadas parciais até a segunda ordem e some — se o resultado não for identicamente zero, a função não é harmônica.

Resposta

Não — \Delta z=12y, logo a função não é harmônica (é harmônica apenas quando y=0).

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