Uma função
é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace
Verifique se as funções a seguir são funções harmônicas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se essa função é harmônica.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
O que significa ser harmônica (de maneira bem direta e prática para a prova): uma função de duas variáveis é harmônica em uma região se for duas vezes diferenciável e se a soma das segundas derivadas parciais em relação a
e a
(o chamado Laplaciano) for zero em todos os pontos dessa região. Em notação, o operador Laplaciano em 2D é
Para verificar, então, basta calcular
e
e somá-las. Lembre-se: derivada parcial em
significa derivar tratando
como constante; derivada parcial em
significa derivar tratando
como constante.
Passo 3
Calcule a primeira derivada parcial em relação a
. Tratando
como constante:
Logo,
Passo 4
Calcule a segunda derivada parcial em relação a
derivando
em
(ainda tratando
como constante):
Aqui usei que a derivada de
em relação a
é
, e o fator
é constante.
Passo 5
Calcule a primeira derivada parcial em relação a
. Tratando
como constante:
Portanto,
Passo 6
Calcule a segunda derivada parcial em relação a
derivando
em
:
O termo
desaparece porque é constante em relação a
.
Passo 7
Some as segundas derivadas para obter o Laplaciano:
A condição para ser harmônica é
para todos os pontos do domínio. Aqui obtivemos
, que só é zero quando
. Logo, em geral
.
Passo 8
Conclusão prática para a prova e dica: a função não é harmônica no plano inteiro, porque o Laplaciano deu
e isso não é identicamente zero. Apenas ao longo da reta
temos
, ou seja, a função é harmônica somente nessa reta. Dica para a prova: sempre calcule as derivadas parciais até a segunda ordem e some — se o resultado não for identicamente zero, a função não é harmônica.
Resposta
Não —
, logo a função não é harmônica (é harmônica apenas quando
).