Questão 6. Se x=t^{2}+1 e y=t^{3}-t, determine \frac{d^{2} y}{d x^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá as duas expressões paramétricas
x = t^{2} + 1
y = t^{3} - t
e pede para determinar a segunda derivada de y em relação a x, isto é \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
Informações relevantes que temos:
\;x e \;y estão expressas em função do parâmetro \;t.
Queremos \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} em termos de \;t (salvo indicação em contrário).
Não vamos ainda resolver nada, apenas organizei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as derivadas de x e y em relação a t.
Lembrete prático (regra do poder): a derivada de t^{n} é n t^{n-1}.
Aplicando isso:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}+1\bigr)=2t
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}-t\bigr)=3t^{2}-1
Expliquei: usei a regra do poder para t^{2} e t^{3}, e a derivada de constante é zero.

Passo 3

Para curvas paramétricas a primeira derivada \dfrac{dy}{dx} é obtida dividindo \dfrac{dy}{dt} por \dfrac{dx}{dt} (isso vem da regra da cadeia: \dfrac{dy}{dx}=(dy/dt)/(dx/dt), desde que dx/dt\neq0).
Então:
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{3t^{2}-1}{2t}.
É útil simplificar para facilitar a derivação posterior. Escrevemos
\frac{3t^{2}-1}{2t}=\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}t^{-1}.
Aqui só separamos a fração em duas parcelas: \dfrac{3t^{2}}{2t}=\dfrac{3}{2}t e -\dfrac{1}{2t}=-\dfrac{1}{2}t^{-1}.

Passo 4

Agora precisamos da derivada em relação a x da expressão \dfrac{dy}{dx}. Usamos a fórmula prática para a segunda derivada em parametrizações:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}.
Ou seja, primeiro derivamos \dfrac{dy}{dx} em relação a t, depois dividimos por \dfrac{dx}{dt}.

Passo 5

Calculemos \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right). Usamos a forma simplificada \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{2}t-\dfrac{1}{2}t^{-1}.
Derivando termo a termo (novamente a regra do poder):
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{3}{2}t\right)=\frac{3}{2}, \qquad \frac{d}{dt}\!\left(-\frac{1}{2}t^{-1}\right)=-\frac{1}{2}\cdot(-1)t^{-2}=\frac{1}{2}t^{-2}.
Somando:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t^{-2}.
Colocando em denominador comum 2t^{2}:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{3t^{2}+1}{2t^{2}}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da Passo 4 dividindo por \dfrac{dx}{dt}=2t:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}} =\frac{\dfrac{3t^{2}+1}{2t^{2}}}{2t}.
Dividir por 2t é multiplicar pelo inverso \dfrac{1}{2t}, então
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{3t^{2}+1}{2t^{2}}\cdot\frac{1}{2t}=\frac{3t^{2}+1}{4t^{3}}.
Observação importante: essa expressão só faz sentido quando \;t\neq 0, porque \dfrac{dx}{dt}=2t aparece no denominador — em t=0 a tangente é vertical e \dfrac{dy}{dx} (e portanto \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}) não está definida.

Resposta

\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{3t^{2}+1}{4t^{3}}\newline
\displaystyle t\neq 0

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