Questão 6. Se
e
, determine
.
Passo 1
O enunciado dá as duas expressões paramétricas
e pede para determinar a segunda derivada de
em relação a
, isto é
.
Informações relevantes que temos:
e
estão expressas em função do parâmetro
.
Queremos em termos de
(salvo indicação em contrário).
Não vamos ainda resolver nada, apenas organizei o que foi dado e o que se pede.
Informações relevantes que temos:
Queremos
Não vamos ainda resolver nada, apenas organizei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Lembrete prático (regra do poder): a derivada de é
.
Aplicando isso:
Lembrete prático (regra do poder): a derivada de
Aplicando isso:
Expliquei: usei a regra do poder para
e
, e a derivada de constante é zero.
Passo 3
Para curvas paramétricas a primeira derivada
é obtida dividindo
por
(isso vem da regra da cadeia:
, desde que
).
Então:
Então:
É útil simplificar para facilitar a derivação posterior. Escrevemos
Aqui só separamos a fração em duas parcelas:
e
.
Passo 4
Agora precisamos da derivada em relação a
da expressão
. Usamos a fórmula prática para a segunda derivada em parametrizações:
Ou seja, primeiro derivamos
em relação a
, depois dividimos por
.
Passo 5
Calculemos
. Usamos a forma simplificada
.
Derivando termo a termo (novamente a regra do poder):
Derivando termo a termo (novamente a regra do poder):
Somando:
Colocando em denominador comum
:
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da Passo 4 dividindo por
:
Dividir por
é multiplicar pelo inverso
, então
Observação importante: essa expressão só faz sentido quando
, porque
aparece no denominador — em
a tangente é vertical e
(e portanto
) não está definida.