Verifique se f(x, y) é contínua em (x, y)=(0,0).
f(x, y)=\left\{\begin{array}{lr}\frac{x y}{3 x^{2}+2 y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função [f(x,y)) é contínua no ponto (x,y)=(0,0).
Informações dadas:
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x y}{3 x^{2}+2 y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O que precisamos verificar (perguntas explícitas):
\text{A função }f\text{ é contínua em }(0,0)\;?çãéí
Iremos decidir isso verificando se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
existe e, se existir, se é igual a (f(0,0)=0].]

Passo 2

Lembrete muito didático sobre continuidade: uma função de duas variáveis f(x,y) é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Se o limite não existir ou for diferente de f(0,0), então f não é contínua em (0,0).
Estratégia escolhida (por que usar este método): uma maneira simples e prática de verificar se o limite não existe é calcular limites ao longo de diferentes curvas (por exemplo, retas y=mx). Se o limite ao longo de duas curvas distintas der valores diferentes, concluímos que o limite total não existe. Esse método é básico, rápido e suficiente para detectar descontinuidade aqui.

Passo 3

Vamos calcular o limite ao longo de uma reta passando pela origem: suponha y=m x, com m constante real. Substituímos na expressão de f (para (x,y)\neq(0,0)):
f(x,mx)=\frac{x\cdot (m x)}{3x^{2}+2(m x)^{2}}.
Agora simplificamos a expressão passo a passo.

Passo 4

Simplificação da expressão obtida:
f(x,mx)=\frac{m x^{2}}{3x^{2}+2m^{2}x^{2}}.
Fatorando x^{2} do denominador:
f(x,mx)=\frac{m x^{2}}{x^{2}\bigl(3+2m^{2}\bigr)}.
Como estamos considerando (x,y)\neq(0,0), podemos cancelar x^{2} (para x\neq0):
f(x,mx)=\frac{m}{3+2m^{2}}\quad\text{(para }x\neq0\text{)}.

Passo 5

Agora avaliamos o limite quando (x,y)\to(0,0) ao longo da reta y=mx. Isso corresponde a x\to0 mantendo m fixo, então o valor de f(x,mx) tende para
\lim_{x\to0} f(x,mx)=\frac{m}{3+2m^{2}}.
Observe que esse resultado depende do parâmetro m: para cada reta de inclinação m obtemos um possível limite diferente.

Passo 6

Mostre que há pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes, o que implica que o limite não existe.
  • Para m=0 (ou seja, ao longo do eixo y=0): aplicando a fórmula,
\frac{m}{3+2m^{2}}=\frac{0}{3+0}=0.
Logo, ao longo de y=0 o limite é 0, que coincide com f(0,0).
  • Para m=1 (reta y=x): aplicando a fórmula,
\frac{m}{3+2m^{2}}=\frac{1}{3+2}=\frac{1}{5}.
Logo, ao longo de y=x o limite é \tfrac{1}{5}.
Temos dois caminhos de aproximação para (0,0) que produzem limites diferentes: 0 e \tfrac{1}{5}. Portanto o limite total
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
não existe.

Passo 7

Conclusão sobre continuidade: como o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe, não pode ser igual a f(0,0)=0. Logo f não é contínua em (0,0).

Resposta

Não, f não é contínua em (0,0).

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