O que precisamos verificar (perguntas explícitas):
\text{A função }f\text{ é contínua em }(0,0)\;?çãéí
Iremos decidir isso verificando se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
existe e, se existir, se é igual a (f(0,0)=0].]
Passo 2
Lembrete muito didático sobre continuidade: uma função de duas variáveis f(x,y) é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Se o limite não existir ou for diferente de f(0,0), então f não é contínua em (0,0).
Estratégia escolhida (por que usar este método): uma maneira simples e prática de verificar se o limite não existe é calcular limites ao longo de diferentes curvas (por exemplo, retas y=mx). Se o limite ao longo de duas curvas distintas der valores diferentes, concluímos que o limite total não existe. Esse método é básico, rápido e suficiente para detectar descontinuidade aqui.
Passo 3
Vamos calcular o limite ao longo de uma reta passando pela origem: suponha y=m x, com m constante real. Substituímos na expressão de f (para (x,y)\neq(0,0)):