Questão 6. Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a série
A pergunta é classificar a série como uma das três opções: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - A presença de
indica alternância de sinal, mas a decisão final depende do comportamento da série de termos com valor absoluto .
Passo 2
Vou explicar a ideia que vou usar: testar a convergência absoluta da série. Definição e teste que usarei:
- Uma série
é absolutamente convergente se a série converge. - Uma ferramenta muito prática para testar
é o teste da razão (d’Alembert). Enunciado do teste da razão: seja . Se
existe, então
- se
então converge; - se
então diverge; - se
o teste é inconclusivo.
Aqui tomareie aplicarei o teste da razão.
Passo 3
Calcular
e a razão
passo a passo. Primeiro escrevo
e
:
Simplifico
usando
:
Agora a razão:
Faço uma simplificação algébrica final:
Passo 4
Avalio o limite da razão quando
:
Como
, pelo teste da razão a série
converge. Portanto a série original converge absolutamente (lembre: se
converge, chamamos a série
de absolutamente convergente).
Passo 5
Comentário didático rápido (intuitivo) para fixar: a presença de
no denominador faz os termos decrescerem muito rápido — mais rápido do que qualquer exponencial
multiplicado por polinômios em
. Por isso fatores como
e
não impedem a convergência absoluta quando há um
no denominador.
Resposta
Absolutamente convergente.