Questão 6. Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n^{2} 2^{n}}{n!}

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n^{2} 2^{n}}{n!}.
A pergunta é classificar a série como uma das três opções: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n = \dfrac{(-1)^{n+1} n^{2} 2^{n}}{n!}.
  • A presença de (-1)^{n+1} indica alternância de sinal, mas a decisão final depende do comportamento da série de termos com valor absoluto |a_n|.

Passo 2

Vou explicar a ideia que vou usar: testar a convergência absoluta da série. Definição e teste que usarei:
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série \sum |a_n| converge.
  • Uma ferramenta muito prática para testar \sum |a_n| é o teste da razão (d’Alembert). Enunciado do teste da razão: seja b_n\ge0. Se
L=\lim_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}}{b_n}
existe, então
  • se L<1 então \sum b_n converge;
  • se L>1 então \sum b_n diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
    Aqui tomarei b_n=|a_n|=\dfrac{n^{2}2^{n}}{n!} e aplicarei o teste da razão.

Passo 3

Calcular b_{n+1} e a razão \dfrac{b_{n+1}}{b_n} passo a passo. Primeiro escrevo b_n e b_{n+1}:
b_n=\frac{n^{2}2^{n}}{n!}, \qquad b_{n+1}=\frac{(n+1)^{2}2^{\,n+1}}{(n+1)!}.
Simplifico b_{n+1} usando (n+1)!=(n+1)n!:
b_{n+1}=\frac{(n+1)^{2}2^{\,n+1}}{(n+1)n!}=\frac{(n+1)2^{\,n+1}}{n!}.
Agora a razão:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{(n+1)2^{\,n+1}}{n!}}{\dfrac{n^{2}2^{n}}{n!}} = \frac{(n+1)2^{\,n+1}}{n^{2}2^{n}} = 2\cdot\frac{n+1}{n^{2}}.
Faço uma simplificação algébrica final:
\frac{b_{n+1}}{b_n}=2\left(\frac{n+1}{n^{2}}\right) =2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right).

Passo 4

Avalio o limite da razão quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\lim_{n\to\infty}2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)=0.
Como L=0<1, pelo teste da razão a série \sum b_n=\sum |a_n| converge. Portanto a série original converge absolutamente (lembre: se \sum |a_n| converge, chamamos a série \sum a_n de absolutamente convergente).

Passo 5

Comentário didático rápido (intuitivo) para fixar: a presença de n! no denominador faz os termos decrescerem muito rápido — mais rápido do que qualquer exponencial c^{n} multiplicado por polinômios em n. Por isso fatores como 2^{n} e n^{2} não impedem a convergência absoluta quando há um n! no denominador.

Resposta

Absolutamente convergente.

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