Questão 6. Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede que classifiquemos se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vou listar explicitamente o que foi dado:
- O numerador do termo geral é o produto dos primeiros
números pares: . - O denominador é
.
O objetivo é determinar a natureza da soma infinita dessa sequência de termos.
Passo 2
Vamos simplificar o numerador
. Repare que cada fator é
vezes um inteiro:
Como há
fatores
, podemos tirar um
de cada fator:
E a parte
é exatamente
. Portanto
Passo 3
Substituindo essa expressão no termo geral da série, obtemos:
Cancelando
(desde que
, o que é óbvio para
), chegamos a
Ou seja, o termo geral da série é exatamente
.
Passo 4
Antes de concluir, vou lembrar alguns conceitos importantes, explicados de forma bem direta:
- Uma série
converge somente se os termos tendem a zero, isto é, . Isso é o teste do termo geral (se o limite não é zero, a série diverge). - Uma série com termos não negativos (ou em geral) é absolutamente convergente se
converge; condicionalmente convergente significa que converge mas diverge. - A série geométrica
converge se, e somente se, ; se , ela diverge. No caso os termos sequer tendem a zero.
Passo 5
Aplicando o teste do termo geral ao nosso caso: como encontramos
, temos
Pelo teste do termo geral, se os termos não tendem a zero a série não pode convergir. Alternativamente, podemos ver que
é uma série geométrica com razão
(com
), logo diverge. Em qualquer dos argumentos, a série não converge.
Passo 6
Classificação quanto à absoluta/condicional: como todos os termos
são positivos, a série dos valores absolutos
é a própria série original. Já que essa série diverge, ela não é absolutamente convergente. E também não é condicionalmente convergente (condicional só faz sentido quando a série converge mas não absolutamente). Portanto não há convergência de qualquer tipo.
Resposta
Divergente (não é absolutamente nem condicionalmente convergente).