Questão 6. Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
* \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2 n}{n!}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{n!}
e pede que classifiquemos se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vou listar explicitamente o que foi dado:
  • O numerador do termo geral é o produto dos primeiros n números pares: 2\cdot4\cdot6\cdots(2n).
  • O denominador é n!.
    O objetivo é determinar a natureza da soma infinita dessa sequência de termos.

Passo 2

Vamos simplificar o numerador 2\cdot4\cdot6\cdots(2n). Repare que cada fator é 2 vezes um inteiro:
2\cdot4\cdot6\cdots(2n) = (2\cdot1)(2\cdot2)(2\cdot3)\cdots(2\cdot n).
Como há n fatores 2, podemos tirar um 2 de cada fator:
(2\cdot1)(2\cdot2)\cdots(2\cdot n) = 2^n\,(1\cdot2\cdot3\cdots n).
E a parte 1\cdot2\cdot3\cdots n é exatamente n!. Portanto
2\cdot4\cdot6\cdots(2n) = 2^n\,n!.

Passo 3

Substituindo essa expressão no termo geral da série, obtemos:
\frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{n!} = \frac{2^n\,n!}{n!}.
Cancelando n! (desde que n!\neq0, o que é óbvio para n\ge1), chegamos a
a_n \equiv \frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{n!} = 2^n.
Ou seja, o termo geral da série é exatamente 2^n.

Passo 4

Antes de concluir, vou lembrar alguns conceitos importantes, explicados de forma bem direta:
  • Uma série \sum a_n converge somente se os termos a_n tendem a zero, isto é, \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Isso é o teste do termo geral (se o limite não é zero, a série diverge).
  • Uma série com termos não negativos (ou em geral) é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge; condicionalmente convergente significa que \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge.
  • A série geométrica \sum_{n=1}^\infty r^n converge se, e somente se, |r|<1; se |r|\ge1, ela diverge. No caso |r|>1 os termos sequer tendem a zero.

Passo 5

Aplicando o teste do termo geral ao nosso caso: como encontramos a_n=2^n, temos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} 2^n = +\infty \neq 0.
Pelo teste do termo geral, se os termos não tendem a zero a série não pode convergir. Alternativamente, podemos ver que \sum 2^n é uma série geométrica com razão r=2 (com |r|>1), logo diverge. Em qualquer dos argumentos, a série não converge.

Passo 6

Classificação quanto à absoluta/condicional: como todos os termos a_n=2^n são positivos, a série dos valores absolutos \sum |a_n|=\sum 2^n é a própria série original. Já que essa série diverge, ela não é absolutamente convergente. E também não é condicionalmente convergente (condicional só faz sentido quando a série converge mas não absolutamente). Portanto não há convergência de qualquer tipo.

Resposta

Divergente (não é absolutamente nem condicionalmente convergente).

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