Seja mathcal{L}{f(t)}=F(s). Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas: r(t)=(t-2) e^{2-t} \mathcal{U}(t-2).
Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace da função
r(t) = (t-2)\,e^{2-t}\,\mathcal{U}(t-2).
Informações dadas e elementos importantes:
A função envolve o degrau unitário \mathcal{U}(t-2) (Heaviside em t=2).
Há um fator (t-2) multiplicando uma exponencial.
Queremos \mathcal{L}\{r(t)\}, ou seja, a transformada de Laplace de r(t).
Passo 2
Primeiro, simplifico a parte exponencial para deixar a função numa forma de deslocamento no tempo. Observe que
e^{2-t} = e^{-(t-2)}.
Logo podemos reescrever
r(t) = (t-2)\,e^{-(t-2)}\,\mathcal{U}(t-2).
Isto mostra claramente que r(t) está na forma g(t-2)\,\mathcal{U}(t-2) com
Agora calculo G(s)=\mathcal{L}\{t e^{-t}\}. Pela definição,
G(s)=\int_{0}^{\infty} t e^{-t} e^{-s t}\,dt = \int_{0}^{\infty} t e^{-(s+1)t}\,dt.
Para avaliar essa integral uso integração por partes. Seja \alpha = s+1 (assumimos \operatorname{Re}(\alpha)>0 para convergência). Tomo u=t e dv=e^{-\alpha t}dt. Então du=dt e v=-\dfrac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}. Assim