Seja
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace
Informações dadas:
A tarefa é obter (F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t),dt] em forma fechada.]
Passo 2
Primeiro vamos escrever
usando a função degrau de Heaviside
. Seja
. A função degrau
vale
para
e
para
. Assim podemos escrever
Isto é só reescrever a definição por partes numa forma que facilita aplicar propriedades da transformada de Laplace.
Passo 3
Queremos usar a propriedade de deslocamento na variável temporal. Para isso é útil escrever
em termos de
e
. Usando a fórmula de soma de ângulos:
Aqui
. Calculando
e
:
Portanto, para
,
Passo 4
Substituindo essa expressão em
obtemos uma escrita na forma padrão para aplicar o teorema do degrau:
Passo 5
Agora usamos a propriedade de deslocamento (teorema do degrau): se
é uma função com transformada
, então
Derivação rápida (intuição): faça a mudança de variável
na integral da Laplace a partir de
.
Passo 6
Na nossa expressão temos
. Precisamos da transformada
. Calculamos-a por integração (mostrar passo a passo para a prova):
Calcule
.
Fazendo integração por partes duas vezes (ou usando transformada conhecida), obtém-se o resultado padrão
Fazendo integração por partes duas vezes (ou usando transformada conhecida), obtém-se o resultado padrão
Também é útil lembrar que
, mas aqui só precisamos de
.
Passo 7
Aplicando a propriedade do degrau à função
com
e
, obtemos:
Passo 8
Simplificando, a transformada de Laplace fica
Se preferir, pode-se obter o mesmo resultado calculando diretamente a integral
e usando a mudança de variável
e a decomposição por soma de ângulos; o resultado é o mesmo.